复变函数的黎曼ζ函数的函数方程与解析延拓 我们先从黎曼ζ函数的基本定义开始。黎曼ζ函数最初对于实部大于1的复数 s = σ + it 定义为： ζ(s) = ∑_ {n=1}^∞ 1/n^s 这个级数在 Re(s) > 1 时是绝对收敛的，因此在该区域内定义了一个解析函数。 接下来，我们需要将ζ函数解析延拓到整个复平面（除了 s=1 处有一个单极点）。这可以通过几种方法实现，最经典的是利用η函数（交替级数）： η(s) = ∑_ {n=1}^∞ (-1)^{n-1}/n^s = (1 - 2^{1-s})ζ(s) 因为η(s) 在 Re(s) > 0 时收敛，这个关系式提供了从 Re(s) > 1 到 Re(s) > 0 的解析延拓，同时在 s=1 处显露出ζ函数的一阶极点。 为了获得全平面的解析延拓，我们使用积分表示。考虑伽玛函数 Γ(s) = ∫_ 0^∞ x^{s-1}e^{-x} dx。通过变量替换和级数展开，可以得到： Γ(s)ζ(s) = ∫_ 0^∞ x^{s-1}/(e^x - 1) dx, (Re(s) > 1) 将积分路径从0到∞分解为两部分，并利用余切函数的展开式，我们得到函数方程的关键形式： ζ(s) = 2^s π^{s-1} sin(πs/2) Γ(1-s) ζ(1-s) 这个方程在 Re(s) < 0 时定义了ζ(s)，因为右边在此时是解析的。 函数方程的对称形式更为优美。定义完备ζ函数为： ξ(s) = π^{-s/2} Γ(s/2) ζ(s) 那么函数方程变为： ξ(s) = ξ(1-s) 这个方程显示了ζ函数在 s 和 1-s 之间的对称性，是解析数论中的基本工具。 通过函数方程，我们可以研究ζ函数的特殊值。例如，在负整数点： ζ(-n) = -B_ {n+1}/(n+1) (n为自然数) 其中 B_ n 是伯努利数。特别地，ζ(-2n)=0，这些就是ζ函数的平凡零点。 函数方程还帮助我们理解ζ函数的非平凡零点（实部在0和1之间的零点）。黎曼猜想断言所有这些零点都位于临界线 Re(s)=1/2 上。函数方程的对称性意味着零点关于实轴和临界线 Re(s)=1/2 对称分布。 最后，函数方程为ζ函数在整点值的计算提供了有力工具。比如： ζ(0) = -1/2 ζ(-1) = -1/12 这些结果在弦理论和量子场论中有重要应用。