模的Auslander-Reiten平移

字数 2114 2025-12-02 09:51:48

模的Auslander-Reiten平移

我们先从代数表示论的基本背景开始。设 \(\Lambda\) 是 Artin 代数（例如有限维代数），考虑有限生成左 \(\Lambda\)-模的范畴 \(\mathrm{mod}\,\Lambda\)。该范畴中，不可分解模的同构类在不可分解投射模和不可分解内射模方面有不对称性，而 Auslander-Reiten（AR）平移 \(\tau\) 和 \(\tau^{-1}\) 正是描述这种不对称性的关键工具。

1. 稳定范畴与几乎分裂序列

稳定范畴 \(\underline{\mathrm{mod}}\,\Lambda\)：通过商掉所有从模 \(M\) 到 \(N\) 的态射中那些可分解为投射模的映射（即模掉投射态射），得到的新范畴。
几乎分裂序列（AR序列）：是形如

\[ 0 \to A \to B \to C \to 0 \]

的不可分裂短正合序列，满足：

\(A\) 和 \(C\) 是不可分解模；
任何不是同构的态射 \(A \to X\) 可提升为 \(A \to B\)；
任何不是同构的态射 \(Y \to C\) 可提升为 \(B \to C\)。
这样的序列在 \(\mathrm{mod}\,\Lambda\) 中唯一存在（若 \(A\) 非投射，\(C\) 非内射）。

2. 平移函子 \(\tau\) 的定义

对不可分解非投射模 \(C\)，定义 AR平移 \(\tau C = A\)，其中 \(A\) 是几乎分裂序列 \(0 \to A \to B \to C \to 0\) 的左端项。

等价定义（通过极小投射分解）：
设 \(P_1 \to P_0 \to C \to 0\) 是 \(C\) 的极小投射分解，应用 \(\mathrm{Hom}_\Lambda(-, \Lambda)\) 得到复形

\[ 0 \to C^* \to P_0^* \to P_1^* \to \mathrm{Tr}\, C \to 0, \]

其中 \((-)^* = \mathrm{Hom}_\Lambda(-, \Lambda)\)，\(\mathrm{Tr}\, C\) 是 \(C\) 的转置模。再取 \(\mathrm{Hom}_\Lambda(-, \Lambda)\) 的核，可得

\[ \tau C = \mathrm{DExt}^1_\Lambda(C, \Lambda), \]

这里 \(D = \mathrm{Hom}_k(-, k)\) 是标准对偶（\(k\) 是基域）。

3. 逆平移 \(\tau^{-1}\)

对不可分解非内射模 \(A\)，定义 \(\tau^{-1} A = C\)，其中 \(C\) 是几乎分裂序列 \(0 \to A \to B \to C \to 0\) 的右端项。

对偶公式：

\[ \tau^{-1} A = \mathrm{Ext}^1_\Lambda(DA, \Lambda). \]

4. AR平移的性质

同构意义下的双射：\(\tau\) 在不可分解非投射模的同构类与不可分解非内射模的同构类之间建立一一对应。
几乎分裂序列的对称性：若 \(0 \to A \to B \to C \to 0\) 是 AR 序列，则

\[ A = \tau C, \quad C = \tau^{-1} A. \]

函子性：在稳定范畴 \(\underline{\mathrm{mod}}\,\Lambda\) 中，\(\tau\) 是等价函子，且满足 AR公式（同构）：

\[ \mathrm{Hom}_\Lambda(X, \tau Y) \cong D\,\underline{\mathrm{Hom}}_\Lambda(Y, X), \]

其中 \(\underline{\mathrm{Hom}}\) 表示稳定态射空间。

5. AR箭图（Auslander-Reiten箭图）

以不可分解模为顶点，几乎分裂序列中的不可约态射为边，构成 AR箭图（或称 AR四元图）。
\(\tau\) 在箭图上作用为平移：若存在边 \(X \to Y\)，则存在边 \(\tau Y \to X\)（或对偶情形）。
箭图的分支（AR分量）可以是有限型（如 Dynkin 图）或无限型（如 \(\mathbb{Z}A_\infty\)）。

6. 应用与推广

分类理论：通过 AR 平移可构造不可分解模的 AR分量，用于分类表示类型（有限型、 tame 型、 wild 型）。
高维推广：在三角范畴或导出范畴中，AR 平移对应于 Serre 函子 或 平移函子，用于研究 Calabi-Yau 范畴等。
奇点理论：在 Cohen-Macaulay 模的范畴中，AR 平移与 几乎分裂序列 同样存在，联系到奇点解消。

通过以上步骤，AR 平移将几乎分裂序列、稳定范畴和箭图结构统一起来，成为表示论中描述模范畴对称性的核心工具。

模的Auslander-Reiten平移我们先从代数表示论的基本背景开始。设 \(\Lambda\) 是 Artin 代数（例如有限维代数），考虑有限生成左 \(\Lambda\)-模的范畴 \(\mathrm{mod}\,\Lambda\)。该范畴中，不可分解模的同构类在不可分解投射模和不可分解内射模方面有不对称性，而 Auslander-Reiten（AR）平移 \(\tau\) 和 \(\tau^{-1}\) 正是描述这种不对称性的关键工具。 1. 稳定范畴与几乎分裂序列稳定范畴 \(\underline{\mathrm{mod}}\,\Lambda\)：通过商掉所有从模 \(M\) 到 \(N\) 的态射中那些可分解为投射模的映射（即模掉投射态射），得到的新范畴。几乎分裂序列（AR序列）：是形如 \[ 0 \to A \to B \to C \to 0 \] 的不可分裂短正合序列，满足： \(A\) 和 \(C\) 是不可分解模；任何不是同构的态射 \(A \to X\) 可提升为 \(A \to B\)；任何不是同构的态射 \(Y \to C\) 可提升为 \(B \to C\)。这样的序列在 \(\mathrm{mod}\,\Lambda\) 中唯一存在（若 \(A\) 非投射，\(C\) 非内射）。 2. 平移函子 \(\tau\) 的定义对不可分解非投射模 \(C\)，定义 AR平移 \(\tau C = A\)，其中 \(A\) 是几乎分裂序列 \(0 \to A \to B \to C \to 0\) 的左端项。等价定义（通过极小投射分解）：设 \(P_ 1 \to P_ 0 \to C \to 0\) 是 \(C\) 的极小投射分解，应用 \(\mathrm{Hom} \Lambda(-, \Lambda)\) 得到复形 \[ 0 \to C^* \to P_ 0^* \to P_ 1^* \to \mathrm{Tr}\, C \to 0, \] 其中 \((-)^* = \mathrm{Hom} \Lambda(-, \Lambda)\)，\(\mathrm{Tr}\, C\) 是 \(C\) 的转置模。再取 \(\mathrm{Hom} \Lambda(-, \Lambda)\) 的核，可得 \[ \tau C = \mathrm{DExt}^1 \Lambda(C, \Lambda), \] 这里 \(D = \mathrm{Hom}_ k(-, k)\) 是标准对偶（\(k\) 是基域）。 3. 逆平移 \(\tau^{-1}\) 对不可分解非内射模 \(A\)，定义 \(\tau^{-1} A = C\)，其中 \(C\) 是几乎分裂序列 \(0 \to A \to B \to C \to 0\) 的右端项。对偶公式： \[ \tau^{-1} A = \mathrm{Ext}^1_ \Lambda(DA, \Lambda). \] 4. AR平移的性质同构意义下的双射：\(\tau\) 在不可分解非投射模的同构类与不可分解非内射模的同构类之间建立一一对应。几乎分裂序列的对称性：若 \(0 \to A \to B \to C \to 0\) 是 AR 序列，则 \[ A = \tau C, \quad C = \tau^{-1} A. \] 函子性：在稳定范畴 \(\underline{\mathrm{mod}}\,\Lambda\) 中，\(\tau\) 是等价函子，且满足 AR公式（同构）： \[ \mathrm{Hom} \Lambda(X, \tau Y) \cong D\,\underline{\mathrm{Hom}} \Lambda(Y, X), \] 其中 \(\underline{\mathrm{Hom}}\) 表示稳定态射空间。 5. AR箭图（Auslander-Reiten箭图）以不可分解模为顶点，几乎分裂序列中的不可约态射为边，构成 AR箭图（或称 AR四元图）。 \(\tau\) 在箭图上作用为平移：若存在边 \(X \to Y\)，则存在边 \(\tau Y \to X\)（或对偶情形）。箭图的分支（ AR分量）可以是有限型（如 Dynkin 图）或无限型（如 \(\mathbb{Z}A_ \infty\)）。 6. 应用与推广分类理论：通过 AR 平移可构造不可分解模的 AR分量，用于分类表示类型（有限型、 tame 型、 wild 型）。高维推广：在三角范畴或导出范畴中，AR 平移对应于 Serre 函子或平移函子，用于研究 Calabi-Yau 范畴等。奇点理论：在 Cohen-Macaulay 模的范畴中，AR 平移与几乎分裂序列同样存在，联系到奇点解消。通过以上步骤，AR 平移将几乎分裂序列、稳定范畴和箭图结构统一起来，成为表示论中描述模范畴对称性的核心工具。