平行曲面的主曲率关系 我们先从曲面的基本概念开始。曲面在三维空间中的局部形状可以由两个主曲率来描述，记为 κ₁ 和 κ₂。主曲率是曲面在某点处沿主方向的最大和最小法曲率。 接下来，我们考虑平行曲面的概念。给定一个曲面 S，其平行曲面 Sₜ 定义为与 S 沿法向量方向距离为常数 t 的所有点的集合。如果 S 由参数方程 r(u, v) 表示，单位法向量为 n(u, v)，那么 Sₜ 的参数方程为 rₜ(u, v) = r(u, v) + t n(u, v)。 现在，关键步骤是推导平行曲面 Sₜ 的主曲率与原曲面 S 的主曲率之间的关系。这个推导需要用到曲面的第一基本形式和第二基本形式。假设原曲面 S 在某个点处的主曲率为 κ₁ 和 κ₂，那么平行曲面 Sₜ 在该对应点处的主曲率 κ₁ₜ 和 κ₂ₜ 满足以下关系： κ₁ₜ = κ₁ / (1 - t κ₁) κ₂ₜ = κ₂ / (1 - t κ₂) 这个公式的推导基于法曲率在平行变换下的变化规律。需要注意的是，当分母 1 - t κᵢ 为零时，平行曲面在该点出现奇点。 最后，我们可以利用这个关系来研究平行曲面的其他几何性质。例如，平行曲面的高斯曲率 Kₜ 和平均曲率 Hₜ 可以通过主曲率计算出来： Kₜ = κ₁ₜ κ₂ₜ = K / (1 - 2Ht + Kt²) Hₜ = (κ₁ₜ + κ₂ₜ)/2 = (H - Kt) / (1 - 2Ht + Kt²) 其中 K 和 H 分别是原曲面 S 的高斯曲率和平均曲率。这些关系在曲面论中有着重要的应用，例如在研究曲面的等距变形和极小曲面时。