模形式的艾森斯坦级数的常数项与伯努利数 我们先从模形式的基本概念开始。模形式是在复上半平面上的全纯函数，满足特定的函数方程（关于模群的某个子群的变换性质）。其中，艾森斯坦级数是一类非常重要的模形式，它们相对简单且具有明确的表达式。 艾森斯坦级数的定义依赖于级数展开。对于权值为 k（k 为大于等于 4 的偶数）的模形式，其艾森斯坦级数 E_ k(z) 定义为： E_ k(z) = (1/2) * Σ'_ {(c,d)∈ℤ²} 1/(c z + d)^k 其中 Σ' 表示求和时排除 c=d=0 的项。这个级数在复上半平面 z 上绝对收敛。 为了研究其性质，我们通常考察其傅里叶展开。傅里叶展开将模形式表示为 q 的幂级数，其中 q = e^{2π i z}。艾森斯坦级数 E_ k(z) 的傅里叶展开具有以下形式： E_ k(z) = 1 - (2k / B_ k) * Σ_ {n=1}^∞ σ_ {k-1}(n) q^n 其中： σ_ {k-1}(n) 是除数函数，表示 n 的所有正因数的 (k-1) 次幂之和。 B_ k 是第 k 个伯努利数。 在这个展开式中，常数项（即不依赖于 q 的项）是 1。这个看似简单的常数项，其系数与伯努利数 B_ k 有着深刻的联系。具体来说，展开式中的归一化因子是 - (2k / B_ k)。这意味着，如果我们考虑一个未归一化的艾森斯坦级数 G_ k(z)，其傅里叶展开的常数项本身就直接与伯努利数相关。 更精确地，我们可以定义归一化因子为伯努利数的函数。常数项“1”的出现，正是通过选择特定的归一化（使得常数项为 1）来实现的，而这个归一化过程不可避免地引入了伯努利数。因此，艾森斯坦级数的常数项（在经过标准归一化后是 1）与使其归一化的伯努利数之间存在着一个固定的代数关系。 伯努利数 B_ k 是有理数序列，通常通过生成函数来定义：t/(e^t - 1) = Σ_ {k=0}^∞ B_ k t^k / k !。它们在数论的许多领域都出现，例如在ζ函数的特殊值中。在这里，它们作为权值 k 的函数，精确地控制了艾森斯坦级数中常数项与非平凡傅里叶系数之间的比例关系。 这种联系的重要性在于，它将模形式这种复杂的解析对象（艾森斯坦级数）的某个特定系数（常数项）与数论中的一个经典序列（伯努利数）联系了起来。这不仅是模形式理论中的一个基本事实，也是理解模形式特殊值、L-函数等更深层次性质的一个起点。例如，通过研究常数项与伯努利数的关系，可以进一步探讨模形式 L-函数在整点上的取值，这些取值常常包含重要的算术信息。