曲面的主方向与曲率线（续）
字数 2366 2025-12-02 04:31:45

曲面的主方向与曲率线（续）

好的，我们继续深入探讨曲面的主方向与曲率线。之前我们已经介绍了基本概念，现在我们将聚焦于一个核心问题：如何在实际的曲面参数表示下，精确地计算出主方向和曲率线。

第一步：回顾与问题引入

首先，我们快速回顾关键概念：

  • 法曲率 (κ_n)：曲面在给定点P和给定切方向上的弯曲程度。
  • 主曲率 (κ₁, κ₂)：在所有可能的切方向中，法曲率的最大值和最小值。
  • 主方向：对应于主曲率的两个相互垂直的切方向。
  • 曲率线：曲面上一条曲线，如果其上每一点的切线方向都是该点的一个主方向，那么这条曲线就是曲率线。

我们的目标是：已知曲面的参数方程 r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))，以及由其推导出的第一基本形式（系数E, F, G）和第二基本形式（系数L, M, N），我们如何找到一个切方向 (du : dv) 使得它成为主方向？

第二步：主方向的微分方程推导

一个切方向 (du, dv) 是主方向的充要条件是它满足以下方程：

(L du + M dv)(G du - F dv) - (M du + N dv)(E du - F dv) = 0

让我们来一步步理解这个方程的来源。

  1. 核心思想：主方向的一个关键性质是，在该方向上，曲面的法向量 n 的变化方向（即 dn）与该切方向本身平行。用数学语言说，如果 (du, dv) 是主方向，那么向量 dn(du, dv) 和切向量 dr(du, dv) 是共线的（平行）。

    • dr = r_u du + r_v dv
    • dn = n_u du + n_v dv

  2. 共线条件：两个向量 dn 和 dr 共线，意味着它们的叉积为零：dn × dr = 0。
    这个叉积为零等价于 dn 与 dr 在任意方向上的投影都满足线性关系。一个标准且有效的处理方法是利用魏因加滕公式 (Weingarten Equations)，它将 n_u 和 n_v 用 r_u 和 r_v 线性表示出来：
    [ n_u; n_v ] = - [ E F; F G ]^{-1} [ L M; M N ] [ r_u; r_v ]
    将这个关系代入 dn × dr = 0，并经过一系列的向量运算（主要利用 r_u × r_v ≠ 0 以及第一、二基本形式的定义），最终可以化简得到上面给出的那个方程。

  3. 方程的展开与化简：
    将方程展开：
    (L du + M dv)(G du - F dv) = (M du + N dv)(E du - F dv)
    => L G (du)² - L F du dv + M G du dv - M F (dv)² = M E (du)² - M F du dv + N E du dv - N F (dv)²
    合并同类项后，得到：
    (LG - ME)(du)² + (MG - NF) du dv + (MF - NE)(dv)² = 0
    或者更常见地写成：
    (EM - FL)(du)² + (EN - GL) du dv + (FN - GM)(dv)² = 0 （这两个形式是等价的，只是各项乘以了-1）。

这个最终的二次方程就是曲率线的微分方程。对于曲面上任意一点，满足该方程的 (du : dv) 比例就给出了该点的两个主方向。

第三步：求解主方向与曲率

一旦我们有了微分方程，如何具体求解主曲率 κ 呢？这需要用到另一个重要的方程——主曲率方程：

(EG - F²) κ² - (EN + GL - 2FM) κ + (LN - M²) = 0

这个方程来源于求解法曲率 κ_n 极值问题的拉格朗日乘数法。解这个关于 κ 的二次方程，得到的两个根 κ₁ 和 κ₂ 就是该点的主曲率。

求解步骤总结：

  1. 对于一个给定的参数曲面，计算其第一基本形式系数 E, F, G 和第二基本形式系数 L, M, N。
  2. 将系数代入主曲率方程，解出两个主曲率 κ₁ 和 κ₂。
  3. 对于每一个主曲率（例如 κ₁），将其代入更原始的魏因加滕关系式（或由之推导出的线性方程组），求解出对应的切方向 (du : dv)。这个方程组通常是：
    (L - κ₁ E) du + (M - κ₁ F) dv = 0
    (M - κ₁ F) du + (N - κ₁ G) dv = 0
    （注意，由于系数矩阵的行列式在 κ₁ 为主曲率时为0，这两个方程不是独立的，我们只需用其中一个求解比例关系即可）。

第四步：一个经典例子——椭球面

考虑一个简单的椭球面：r(u, v) = (a cos u cos v, b cos u sin v, c sin u)，其中 u 是“纬度”参数，v 是“经度”参数。

  1. 计算基本量：首先求出 r_u, r_v, 然后计算 E, F, G, L, M, N。这个过程较为繁琐，但结果是明确的。
  2. 观察对称性：可以发现，坐标曲线 u=常数 和 v=常数 正好就是该椭球面的曲率线！也就是说，经线方向和纬线方向就是主方向。这在直观上是合理的，因为这三个半轴 a, b, c 构成了曲面的对称轴。
  3. 验证：将计算出的 E, F, G, L, M, N 代入曲率线的微分方程，你会发现方程可以被因式分解为 (du)(dv)=0 的形式，这正好对应着 du=0（即 v-曲线，纬线）和 dv=0（即 u-曲线，经线）两组解。

通过这个系统性的方法，我们可以分析任何光滑曲面的弯曲特性，主方向和曲率线为我们提供了刻画曲面局部几何的强有力工具。

曲面的主方向与曲率线（续） 好的，我们继续深入探讨曲面的主方向与曲率线。之前我们已经介绍了基本概念，现在我们将聚焦于一个核心问题：如何在实际的曲面参数表示下，精确地计算出主方向和曲率线。 第一步：回顾与问题引入 首先，我们快速回顾关键概念： 法曲率 (κ_ n) ：曲面在给定点P和给定切方向上的弯曲程度。 主曲率 (κ₁, κ₂) ：在所有可能的切方向中，法曲率的最大值和最小值。 主方向 ：对应于主曲率的两个相互垂直的切方向。 曲率线 ：曲面上一条曲线，如果其上每一点的切线方向都是该点的一个主方向，那么这条曲线就是曲率线。 我们的目标是：已知曲面的参数方程 r (u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))，以及由其推导出的 第一基本形式 （系数E, F, G）和 第二基本形式 （系数L, M, N），我们如何找到一个切方向 (du : dv) 使得它成为主方向？ 第二步：主方向的微分方程推导 一个切方向 (du, dv) 是主方向的 充要条件 是它满足以下方程： (L du + M dv)(G du - F dv) - (M du + N dv)(E du - F dv) = 0 让我们来一步步理解这个方程的来源。 核心思想 ：主方向的一个关键性质是，在该方向上，曲面的法向量 n 的变化方向（即 dn ）与该切方向本身平行。用数学语言说，如果 (du, dv) 是主方向，那么向量 dn (du, dv) 和切向量 dr (du, dv) 是共线的（平行）。 dr = r _ u du + r _ v dv dn = n _ u du + n _ v dv 共线条件 ：两个向量 dn 和 dr 共线，意味着它们的叉积为零： dn × dr = 0 。 这个叉积为零等价于 dn 与 dr 在任意方向上的投影都满足线性关系。一个标准且有效的处理方法是利用 魏因加滕公式 (Weingarten Equations) ，它将 n _ u 和 n _ v 用 r _ u 和 r _ v 线性表示出来： [ n_u; n_v ] = - [ E F; F G ]^{-1} [ L M; M N ] [ r_u; r_v ] 将这个关系代入 dn × dr = 0 ，并经过一系列的向量运算（主要利用 r _ u × r _ v ≠ 0 以及第一、二基本形式的定义），最终可以化简得到上面给出的那个方程。 方程的展开与化简 ： 将方程展开： (L du + M dv)(G du - F dv) = (M du + N dv)(E du - F dv) => L G (du)² - L F du dv + M G du dv - M F (dv)² = M E (du)² - M F du dv + N E du dv - N F (dv)² 合并同类项后，得到： (LG - ME)(du)² + (MG - NF) du dv + (MF - NE)(dv)² = 0 或者更常见地写成： (EM - FL)(du)² + (EN - GL) du dv + (FN - GM)(dv)² = 0 （这两个形式是等价的，只是各项乘以了-1）。 这个最终的二次方程就是 曲率线的微分方程 。对于曲面上任意一点，满足该方程的 (du : dv) 比例就给出了该点的两个主方向。 第三步：求解主方向与曲率 一旦我们有了微分方程，如何具体求解主曲率 κ 呢？这需要用到另一个重要的方程—— 主曲率方程 ： (EG - F²) κ² - (EN + GL - 2FM) κ + (LN - M²) = 0 这个方程来源于求解法曲率 κ_ n 极值问题的拉格朗日乘数法。解这个关于 κ 的二次方程，得到的两个根 κ₁ 和 κ₂ 就是该点的主曲率。 求解步骤总结 ： 对于一个给定的参数曲面，计算其第一基本形式系数 E, F, G 和第二基本形式系数 L, M, N。 将系数代入主曲率方程，解出两个主曲率 κ₁ 和 κ₂。 对于每一个主曲率（例如 κ₁），将其代入更原始的魏因加滕关系式（或由之推导出的线性方程组），求解出对应的切方向 (du : dv)。这个方程组通常是： (L - κ₁ E) du + (M - κ₁ F) dv = 0 (M - κ₁ F) du + (N - κ₁ G) dv = 0 （注意，由于系数矩阵的行列式在 κ₁ 为主曲率时为0，这两个方程不是独立的，我们只需用其中一个求解比例关系即可）。 第四步：一个经典例子——椭球面 考虑一个简单的椭球面： r (u, v) = (a cos u cos v, b cos u sin v, c sin u)，其中 u 是“纬度”参数，v 是“经度”参数。 计算基本量 ：首先求出 r _ u, r _ v, 然后计算 E, F, G, L, M, N。这个过程较为繁琐，但结果是明确的。 观察对称性 ：可以发现，坐标曲线 u=常数 和 v=常数 正好就是该椭球面的曲率线！也就是说，经线方向和纬线方向就是主方向。这在直观上是合理的，因为这三个半轴 a, b, c 构成了曲面的对称轴。 验证 ：将计算出的 E, F, G, L, M, N 代入曲率线的微分方程，你会发现方程可以被因式分解为 (du)(dv)=0 的形式，这正好对应着 du=0（即 v-曲线，纬线）和 dv=0（即 u-曲线，经线）两组解。 通过这个系统性的方法，我们可以分析任何光滑曲面的弯曲特性，主方向和曲率线为我们提供了刻画曲面局部几何的强有力工具。