曲面的法曲率与主曲率的关系 我们先从曲面的法曲率概念开始。假设你有一个光滑曲面S，以及曲面上一点p。在p点有一个切向量v。过p点，并且沿着v方向，我们可以做一个法截面，这个法截面是由曲面在p点的法向量n和切向量v张成的平面，它与曲面S相交得到一条平面曲线，称为法截线。这条法截线在p点的曲率，就定义为曲面S在p点沿v方向的法曲率，记作κ_ n(v)。 法曲率κ_ n(v)的符号是这样规定的：如果法截线朝着法向量n的正方向弯曲，法曲率为正；如果朝着相反方向弯曲，法曲率为负。 接下来，我们考虑p点所有可能的切方向。当我们让切向量v在p点的切平面上旋转一周时，对应的法曲率κ_ n(v)的值会发生变化。欧拉公式描述了这种变化关系：存在两个相互垂直的切方向，称为主方向，沿着这两个主方向，法曲率分别取得最大值和最小值，这两个极值就称为主曲率，通常记作κ₁和κ₂（κ₁ ≥ κ₂）。 那么，对于任意一个与第一个主方向夹角为θ的切方向v，其法曲率κ_ n(θ)可以通过欧拉公式计算： κ_ n(θ) = κ₁ cos²θ + κ₂ sin²θ 从这个公式可以看出，法曲率κ_ n(v)的值完全由两个主曲率κ₁, κ₂以及方向角θ决定。主曲率是法曲率在所有可能方向上的极值。因此，主曲率是法曲率的一种特殊情况，是法曲率在特定方向（主方向）上的取值。同时，主曲率也决定了任意方向法曲率的取值范围。