模的稳定化子 我们先从线性代数中的“稳定子”概念出发。设 \( V \) 是域 \( k \) 上的向量空间，\( G \) 是一个群，\( \rho: G \to \mathrm{GL}(V) \) 是 \( G \) 在 \( V \) 上的线性表示。对任意向量 \( v \in V \)，其稳定子（stabilizer）定义为： \[ G_ v = \{ g \in G \mid \rho(g)(v) = v \}. \] 这是一个子群，描述的是保持 \( v \) 不变的群元素。 推广到模论 在模论中，考虑一个环 \( R \) 和一个左 \( R \)-模 \( M \)。设 \( G \) 是 \( R \) 上的代数群或有限群（或更一般地，一个群作用在 \( R \) 上），并且 \( G \) 通过环自同构作用在 \( R \) 上，进而作用在 \( M \) 上。对任意 \( m \in M \)，模的稳定化子定义为： \[ \mathrm{Stab}_ G(m) = \{ g \in G \mid g \cdot m = m \}. \] 这里“\( g \cdot m \)”表示群作用在模元素上的结果。稳定化子是 \( G \) 的子群，它刻画了哪些群元素固定 \( m \)。 稳定化子与模的不变量 稳定化子可用于研究模的结构： 轨道-稳定化子定理 ：若 \( G \) 有限且自由作用在 \( M \) 上，则轨道 \( G \cdot m \) 的大小等于 \( |G| / |\mathrm{Stab}_ G(m)| \)。 固定子模 ：对所有 \( m \in M \)，稳定化子相同的元素可构成子模，称为固定点模 \( M^G = \{ m \in M \mid g \cdot m = m \ \forall g \in G \} \)。 几何中的类比 在代数几何中，若 \( M \) 是代数簇 \( X \) 上函数环的模，\( G \) 是代数群作用在 \( X \) 上，则点 \( x \in X \) 的稳定化子 \( G_ x \) 可用来研究商簇 \( X/G \) 的奇点性质。当稳定化子非平凡时，商映射在 \( x \) 处可能不是étale的。 稳定化子与表示论 在模表示论中，若 \( G \) 是有限群，\( k \) 是域，\( M \) 是 \( k[ G] \)-模，则对 \( m \in M \)，稳定化子 \( \mathrm{Stab}_ G(m) \) 是 \( G \) 的 \( p \)-子群（当 \( \mathrm{char}(k) = p > 0 \) 时），这与 Sylow 定理和 Brauer 理论密切相关。 进一步推广：群作用的稳定化子函子 考虑范畴 \( \mathcal{C} = G\text{-}\mathrm{Mod} \)（\( G \)-模的范畴）。可定义函子： \[ \mathrm{Stab}: M \mapsto \{ \mathrm{Stab} G(m) \} {m \in M}, \] 这实际上是一个从 \( G\text{-}\mathrm{Mod} \) 到 \( G \) 的子群格的映射。通过研究稳定化子的分布，可得到模的不可约分解信息。 稳定化子与不变理论 经典不变理论中，稳定化子用于描述多项式环上代数群作用的生成元与关系。例如，若 \( G = \mathrm{SL}_ 2 \) 作用在二元多项式环上，稳定化子分析帮助确定不变环的结构。 总结 模的稳定化子将群作用的固定子概念推广到模结构，是联系表示论、代数几何和不变理论的重要工具，通过分析群元素对模元素的固定行为，揭示模的对称性与分解性质。