图的循环边连通性 1. 基本概念与动机 图的循环边连通性是一种衡量图连通性强弱的指标，它特别关注破坏图中所有圈（循环）所需移除的最少边数。与普通的边连通度（破坏图的连通性所需的最少边数）相比，循环边连通性要求更高，它要求被破坏的不仅是图的连通性，而是图中所有的圈结构。这个概念在研究网络的容错性，特别是当网络需要保持某种循环结构（如环形拓扑）的稳定性时，具有重要意义。 2. 核心定义 设 G = (V, E) 是一个图（通常假设是连通的）。 边割 ：一个边割是一个边的集合 S ⊆ E，使得从 G 中移除 S 后，图 G 变得不连通。 循环边割 ：一个边割 S 如果满足：从 G 中移除 S 后，剩下的图 G-S 中不包含任何圈（即 G-S 是一个森林），则称 S 为一个循环边割。 循环边连通度 ：图 G 的循环边连通度，记作 λ_ c(G)，定义为最小的循环边割所包含的边数。即 λ_ c(G) = min { |S| : S 是 G 的一个循环边割 }。 如果图 G 本身就不包含任何圈（即 G 是一棵树），那么空集就是一个循环边割，因此定义 λ_ c(G) = 0。对于不连通的图，通常也定义其循环边连通度为 0。 3. 与普通边连通度的关系 普通边连通度记为 λ(G)。根据定义，任何一个循环边割首先必须是一个边割（因为它破坏了连通性），因此我们有： λ_ c(G) ≥ λ(G) 这个不等式是严格的，因为一个最小的边割（例如，只将图分成两部分的最小割集）可能不会破坏所有的圈。被割集分开的某个连通分支内部可能仍然存在圈。 4. 循环边连通度的性质与计算 上界 ：对于一个顶点数为 n，边数为 m 的图 G，其循环边连通度有一个重要的上界：λ_ c(G) ≤ min{ m-n+1, ⌊(n-δ(G))/2⌋ }，其中 δ(G) 是图的最小度。m-n+1 实际上是图 G 的圈秩（即圈空间的维数）。 计算复杂性 ：判定一个图的循环边连通度是否至少为某个给定的整数 k，是一个 NP-完全问题。这意味着对于一般的图，没有已知的多项式时间算法能精确计算 λ_ c(G)。因此，研究多集中于寻找多项式时间的近似算法，或者研究特定图类（如正则图、平面图等）的循环边连通度的精确值和性质。 5. 应用与扩展 网络可靠性 ：在通信网络或电路设计中，如果网络需要保持环状结构以避免单点故障，那么其循环边连通度就直接衡量了网络在边发生故障时保持这种环状结构的能力。 图的结构分析 ：循环边连通度与图的“圈结构”紧密相关。一个循环边割实际上将图分割成了至少两个部分，且每个部分内部是树状结构（无圈），所有的圈都被这个割集所“承载”。这有助于理解图的整体构造。 推广概念 ：基于循环边连通度的思想，可以进一步定义 k-循环边连通度，即破坏图中所有长度小于等于 k 的圈所需移除的最少边数。这提供了对图圈结构更精细的度量。