模的Schanuel引理 我们先从模论的基本背景开始。模是环上的线性结构，可视为向量空间的推广（环代替了域）。在模论中，我们经常研究模之间的正合序列，特别是短正合序列，它们描述了模的扩展与分解关系。 1. 投射模与短正合序列的分裂 一个模 \( P \) 称为 投射模 ，如果对于任意满同态 \( g: B \to C \) 和同态 \( h: P \to C \)，存在同态 \( h': P \to B \) 使得 \( g \circ h' = h \)。等价地，每个短正合序列 \( 0 \to A \to B \to P \to 0 \) 分裂（即 \( B \cong A \oplus P \)）。 投射模的重要性在于它们可以“提升”同态，类似于向量空间的基性质。 2. 正合序列与模的分解 考虑两个短正合序列： \[ 0 \to K \to P \to M \to 0, \quad 0 \to L \to Q \to M \to 0 \] 其中 \( P \) 和 \( Q \) 是投射模，\( K \) 和 \( L \) 是核模。这两个序列描述了模 \( M \) 的两种“近似”分解。 问题：\( K \) 和 \( L \) 之间有何关系？它们可能不同构，但存在某种等价性。 3. Schanuel引理的表述 设 \( R \) 为环，\( M \) 为左 \( R \)-模。若有短正合序列： \[ 0 \to K \to P \to M \to 0, \quad 0 \to L \to Q \to M \to 0 \] 其中 \( P, Q \) 为投射模，则存在同构： \[ K \oplus Q \cong L \oplus P. \] 直观解释：两个序列的核模 \( K \) 和 \( L \) 在直和意义下等价，差异由投射模 \( P \) 和 \( Q \) 补偿。这表明模的分解在稳定等价下唯一。 4. 证明思路（关键步骤） 构造纤维积：考虑 \( P \times_ M Q = \{(p, q) \in P \times Q \mid f(p) = g(q)\} \)，其中 \( f: P \to M \) 和 \( g: Q \to M \) 是满同态。 验证正合性：通过图表追踪，得到短正合序列： \[ 0 \to K \to P \times_ M Q \to Q \to 0, \quad 0 \to L \to P \times_ M Q \to P \to 0. \] 利用投射模的性质：序列分裂，故 \( P \times_ M Q \cong K \oplus Q \cong L \oplus P \)。 5. 应用与推广 投射维数 ：若 \( M \) 有有限投射分解，Schanuel引理保证分解的唯一性（模稳定等价）。 逆命题（Schanuel引理的变形） ：若 \( K \oplus Q \cong L \oplus P \) 且 \( P, Q \) 投射，则可构造与 \( M \) 相关的正合序列。 高阶推广 ：用于比较模的投射分解，导出同调代数中的“马刺序列”（Syzygy定理）。 通过以上步骤，Schanuel引理揭示了模的分解结构中的稳定性，是研究模的投射维数和同调维数的基石工具。