量子力学中的Gelfand三元组 第一步：理解基本概念——从Hilbert空间到其对偶空间 在量子力学中，系统的状态通常用Hilbert空间H中的矢量（波函数）来描述。然而，许多物理上有意义的算符（如位置和动量算符）在H上可能是无界的，它们的本征矢（如位置本征态|x>）并不属于H本身，因为它们是广义函数（如狄拉克δ函数）。为了严格处理这些对象，我们需要一个比H更大的空间。Gelfand三元组（也称为rigged Hilbert space）提供了一个优雅的数学框架。它由三个嵌套的空间构成： Φ ⊂ H ⊂ Φ' 其中： H是系统的Hilbert空间（例如，平方可积函数空间L²(ℝ)）。 Φ是一个比H“小”的空间，它由“性质良好”的函数（如光滑、速降函数）构成，并且在H中是稠密的。关键的是，Φ需要具备一种拓扑结构（通常比H的拓扑更精细），使得所有我们关心的无界算符在Φ上的限制都成为连续算子。 Φ'是Φ的拓扑对偶空间，即所有连续线性泛函的集合。它比H“大”，包含了广义函数（如δ函数）。 第二步：三元组中各空间的角色与性质 空间Φ（测试函数空间） ：这个空间是三元组的核心。它的元素是“非常好”的函数，例如Schwartz空间S(ℝ)中的速降光滑函数。要求Φ在H中稠密，意味着H中的任何矢量都可以用Φ中的函数序列任意逼近。更重要的是，我们为Φ赋予一个拓扑（通常由一族半范数定义），使得关键的无界算符（如位置算符X和动量算符P）从Φ到Φ是连续的。这意味着，如果序列{φ_ n}在Φ中收敛于φ，那么算符作用后的序列{Aφ_ n}也在Φ中收敛于Aφ。 Hilbert空间H ：这是我们熟悉的量子力学状态空间，具有内积和由之诱导的范数。H是“居中”的空间，其拓扑由内积给出。 空间Φ'（分布空间） ：这是Φ的对偶空间。它的元素是线性泛函F: Φ → ℂ。一个元素f ∈ H可以自然地被视为Φ'中的一个元素，通过内积的方式：对于任意φ ∈ Φ，泛函F_ f定义为F_ f(φ) = <φ, f>（在物理学的狄拉克符号中，这对应于 <φ|f>）。然而，Φ'中还包含那些不能由H中任何矢量按此方式表示的元素，最典型的例子就是狄拉克δ函数，它作为一个泛函作用于测试函数φ时，给出φ(0)。因此，Φ'容纳了Hilbert空间所不能容纳的“广义本征矢”。 第三步：广义本征函数展开定理 Gelfand三元组的主要威力在于它允许我们对无界自伴算子进行谱分解。在基本的Hilbert空间理论中，有界自伴算子的谱定理允许我们将其对角化。但对于无界算子（如哈密顿量），其本征函数可能不在H中。 在Gelfand三元组的框架下，我们可以表述广义谱定理：如果一个自伴算子A将Φ映射到自身且在Φ上连续，那么A在Φ'中存在一个完备的广义本征向量集合。这意味着，三元组中的任何测试函数φ ∈ Φ都可以用这些广义本征函数进行展开： φ = ∫_ σ(A) F(λ) ψ_ λ dμ(λ) 其中，积分是在算符A的谱σ(A)上进行的，ψ_ λ ∈ Φ'是对应于本征值λ的广义本征向量，μ是谱测度。这个展开在Φ的拓扑意义下收敛。这为量子力学中的本征函数展开（例如，用动量本征态展开波函数）提供了严格的数学基础。 第四步：在量子力学中的具体应用与意义 在量子力学中，一个标准且非常重要的Gelfand三元组例子是： S(ℝ^n) ⊂ L²(ℝ^n) ⊂ S'(ℝ^n) 其中S(ℝ^n)是n维Schwartz空间（所有速降光滑函数），S'(ℝ^n)是缓增分布空间（其连续对偶）。 位置算符和动量算符 ：它们的本征态|x>和|p>不属于L²(ℝ^n)，但属于S'(ℝ^n)。它们作用于测试函数φ ∈ S(ℝ^n)上给出明确的值（例如， <x|φ> = φ(x)）。 波函数的表示 ：一个量子态ψ ∈ L²(ℝ^n)可以在位置“基”下表示为ψ(x) = <x|ψ>。严格来说，这是泛函|x> ∈ S'作用于ψ ∈ S ⊂ L²的结果。由于S在L²中稠密，这个表示是良定义的。 完备性关系 ：著名的关系∫ |x><x| dx = I（单位算符）在分布的意义下成立。它意味着对任意φ, ψ ∈ S，有<φ|ψ> = ∫ φ* (x)ψ(x) dx = ∫ <φ|x> <x|ψ> dx。 总结来说，Gelfand三元组通过引入一个“好”的测试函数空间Φ及其对偶空间Φ’，将Hilbert空间H“夹在中间”，从而为处理无界算子的连续谱、广义本征函数以及量子力学中的各种展开定理提供了一个严格而强大的数学基础。它使得狄拉克的符号法变得严谨。