模的Ext函子

字数 2244 2025-12-01 20:35:19

模的Ext函子

我们先从模的同态概念出发。设 \(R\) 是一个环，\(A\) 和 \(B\) 是 \(R\)-模。所有从 \(A\) 到 \(B\) 的 \(R\)-模同态的集合记为 \(\operatorname{Hom}_R(A, B)\)。这个集合本身具有阿贝尔群的结构（同态可以逐点相加），当 \(R\) 是交换环时，它甚至能成为一个 \(R\)-模。

现在，考虑一个短正合序列：

\[ 0 \to B' \to B \to B'' \to 0 \]

如果我们对固定的模 \(A\) 应用 \(\operatorname{Hom}_R(A, -)\) 函子，会得到一个序列：

\[ 0 \to \operatorname{Hom}_R(A, B') \to \operatorname{Hom}_R(A, B) \to \operatorname{Hom}_R(A, B'') \]

这个序列总是左正合的，意味着第一个映射是单射，且其像恰好是第二个映射的核。然而，最右边的映射 \(\operatorname{Hom}_R(A, B) \to \operatorname{Hom}_R(A, B'')\) 不一定是满射。也就是说，一个从 \(A\) 到 \(B''\) 的同态，不一定能“提升”为一个从 \(A\) 到 \(B\) 的同态。这种“提升”的障碍，正是 Ext 函子所要测量的。

为了系统地研究这种障碍，我们转向模的投射分解。回忆一下，模 \(A\) 的一个投射分解是一列投射模 \(P_i\) 和同态 \(d_i\)，构成一个长正合序列（或更实际地，一个链复形）：

\[ \cdots \to P_2 \xrightarrow{d_2} P_1 \xrightarrow{d_1} P_0 \xrightarrow{\epsilon} A \to 0 \]

其中 \(\epsilon\) 是满射，并且这个序列在每一个点都是正合的。投射模的性质保证了这样的分解总是存在的。

Ext 函子的定义如下：对给定的模 \(A\) 和 \(B\)，我们取 \(A\) 的一个投射分解 \(P_\bullet \to A \to 0\)。然后，我们去掉 \(A\)，对复形 \(P_\bullet\) 应用 \(\operatorname{Hom}_R(-, B)\) 函子，得到一个新的复形：

\[ 0 \to \operatorname{Hom}_R(P_0, B) \xrightarrow{d_1^*} \operatorname{Hom}_R(P_1, B) \xrightarrow{d_2^*} \operatorname{Hom}_R(P_2, B) \to \cdots \]

这里，\(d_i^*\) 是由 \(d_i\) 通过“拉回”诱导的同态，即 \(d_i^*(f) = f \circ d_i\)。

这个新复形的同调群就定义了 Ext 函子：

\[ \operatorname{Ext}_R^n(A, B) = H^n(\operatorname{Hom}_R(P_\bullet, B)) = \frac{\ker(d_{n+1}^*)}{\operatorname{im}(d_n^*)} \]

特别地，当 \(n=0\) 时，有 \(\operatorname{Ext}_R^0(A, B) \cong \operatorname{Hom}_R(A, B)\)。当 \(n \geq 1\) 时，\(\operatorname{Ext}_R^n(A, B)\) 衡量了“n 维的扩展障碍”。

Ext 函子的一个核心解释是，它参数化了模的扩展。具体来说，\(\operatorname{Ext}_R^1(A, B)\) 中的元素一一对应于模 \(B\) 被模 \(A\) 的扩展的等价类。一个扩展是指一个短正合序列：

\[ 0 \to B \to E \to A \to 0 \]

两个扩展是等价的，如果存在一个同构 \(E \cong E'\) 使得整个图表交换。\(\operatorname{Ext}_R^1(A, B)\) 的阿贝尔群结构恰好对应于扩展的“Baer和”操作。

对于更高的 \(n\)，\(\operatorname{Ext}_R^n(A, B)\) 也有类似的解释，涉及到更长的正合序列（n-扩展），但其直观性减弱。

Ext 函子在同调代数中扮演着核心角色。例如，一个模 \(P\) 是投射模，当且仅当对所有模 \(B\)，有 \(\operatorname{Ext}_R^1(P, B) = 0\)。类似地，一个模 \(I\) 是内射模，当且仅当对所有模 \(A\)，有 \(\operatorname{Ext}_R^1(A, I) = 0\)。Ext 函子也是推导函子理论的一个典型例子，它与 Tor 函子一起，构成了研究环的总体性质和模的精细结构的基本工具。在代数几何和表示论等领域，Ext 群（或更一般地，Ext 层）提供了重要的不变量。

模的Ext函子我们先从模的同态概念出发。设 \( R \) 是一个环，\( A \) 和 \( B \) 是 \( R \)-模。所有从 \( A \) 到 \( B \) 的 \( R \)-模同态的集合记为 \( \operatorname{Hom}_ R(A, B) \)。这个集合本身具有阿贝尔群的结构（同态可以逐点相加），当 \( R \) 是交换环时，它甚至能成为一个 \( R \)-模。现在，考虑一个短正合序列： \[ 0 \to B' \to B \to B'' \to 0 \] 如果我们对固定的模 \( A \) 应用 \( \operatorname{Hom}_ R(A, -) \) 函子，会得到一个序列： \[ 0 \to \operatorname{Hom}_ R(A, B') \to \operatorname{Hom}_ R(A, B) \to \operatorname{Hom}_ R(A, B'') \] 这个序列总是左正合的，意味着第一个映射是单射，且其像恰好是第二个映射的核。然而，最右边的映射 \( \operatorname{Hom}_ R(A, B) \to \operatorname{Hom}_ R(A, B'') \) 不一定是满射。也就是说，一个从 \( A \) 到 \( B'' \) 的同态，不一定能“提升”为一个从 \( A \) 到 \( B \) 的同态。这种“提升”的障碍，正是 Ext 函子所要测量的。为了系统地研究这种障碍，我们转向模的投射分解。回忆一下，模 \( A \) 的一个投射分解是一列投射模 \( P_ i \) 和同态 \( d_ i \)，构成一个长正合序列（或更实际地，一个链复形）： \[ \cdots \to P_ 2 \xrightarrow{d_ 2} P_ 1 \xrightarrow{d_ 1} P_ 0 \xrightarrow{\epsilon} A \to 0 \] 其中 \( \epsilon \) 是满射，并且这个序列在每一个点都是正合的。投射模的性质保证了这样的分解总是存在的。 Ext 函子的定义如下：对给定的模 \( A \) 和 \( B \)，我们取 \( A \) 的一个投射分解 \( P_ \bullet \to A \to 0 \)。然后，我们去掉 \( A \)，对复形 \( P_ \bullet \) 应用 \( \operatorname{Hom}_ R(-, B) \) 函子，得到一个新的复形： \[ 0 \to \operatorname{Hom}_ R(P_ 0, B) \xrightarrow{d_ 1^ } \operatorname{Hom}_ R(P_ 1, B) \xrightarrow{d_ 2^ } \operatorname{Hom}_ R(P_ 2, B) \to \cdots \] 这里，\( d_ i^* \) 是由 \( d_ i \) 通过“拉回”诱导的同态，即 \( d_ i^* (f) = f \circ d_ i \)。这个新复形的同调群就定义了 Ext 函子： \[ \operatorname{Ext} R^n(A, B) = H^n(\operatorname{Hom} R(P \bullet, B)) = \frac{\ker(d {n+1}^ )}{\operatorname{im}(d_ n^ )} \] 特别地，当 \( n=0 \) 时，有 \( \operatorname{Ext}_ R^0(A, B) \cong \operatorname{Hom}_ R(A, B) \)。当 \( n \geq 1 \) 时，\( \operatorname{Ext}_ R^n(A, B) \) 衡量了“n 维的扩展障碍”。 Ext 函子的一个核心解释是，它参数化了模的扩展。具体来说，\( \operatorname{Ext}_ R^1(A, B) \) 中的元素一一对应于模 \( B \) 被模 \( A \) 的扩展的等价类。一个扩展是指一个短正合序列： \[ 0 \to B \to E \to A \to 0 \] 两个扩展是等价的，如果存在一个同构 \( E \cong E' \) 使得整个图表交换。\( \operatorname{Ext}_ R^1(A, B) \) 的阿贝尔群结构恰好对应于扩展的“Baer和”操作。对于更高的 \( n \)，\( \operatorname{Ext}_ R^n(A, B) \) 也有类似的解释，涉及到更长的正合序列（n-扩展），但其直观性减弱。 Ext 函子在同调代数中扮演着核心角色。例如，一个模 \( P \) 是投射模，当且仅当对所有模 \( B \)，有 \( \operatorname{Ext}_ R^1(P, B) = 0 \)。类似地，一个模 \( I \) 是内射模，当且仅当对所有模 \( A \)，有 \( \operatorname{Ext}_ R^1(A, I) = 0 \)。Ext 函子也是推导函子理论的一个典型例子，它与 Tor 函子一起，构成了研究环的总体性质和模的精细结构的基本工具。在代数几何和表示论等领域，Ext 群（或更一般地，Ext 层）提供了重要的不变量。