模型论中的塔斯基真定义 我们先从最基础的概念开始。在模型论中，一个“结构”或“模型” M 为一个数学对象（如实数域、自然数集等）提供了一个严格的数学描述。它包含一个论域（所有研究对象构成的集合）以及一些解释函数、关系和常量符号。例如，自然数结构 N 的论域是自然数集 ℕ，并解释了符号 “0” (作为数字0), “S” (作为后继函数), “+” 和 “×” 等。 接下来，我们考虑形式语言，通常是一阶语言 L。它由一些逻辑符号（如连接词 ∧, ∨, ¬, 量词 ∀, ∃, 等号 =）和一些非逻辑符号（如函数符号、关系符号和常量符号）组成。这些符号本身没有含义。当我们把语言 L 中的一个句子 φ（一个没有自由变量的公式）在一个 L-结构 M 中进行解释时，这个句子就变成了一个关于 M 的陈述，它可能为真，也可能为假。例如，句子 “∀x (x + 0 = x)” 在自然数结构 N 中为真。 现在，我们面临一个核心问题：如何精确地定义“在模型 M 中，句子 φ 为真”（记作 M ⊨ φ）这个概念？在塔斯基之前，“真”是一个哲学和语义学上的模糊概念。塔斯基的目标是为这个直观概念提供一个形式上无可挑剔的定义，这个定义必须满足“实质恰当性”条件，即它能够推导出所有像“‘雪是白的’为真，当且仅当，雪是白的”这样的等值式。 然而，直接定义“M ⊨ φ”是困难的，因为句子 φ 本身可能包含量词（如 ∀x）。量词“对所有 x”的含义依赖于论域中的“所有”对象。要判断“∀x ψ(x)”在 M 中是否为真，我们需要先知道对于论域中的每一个个体 a，公式 ψ(x) 在将 x 解释为 a 时是否成立。但 ψ(x) 本身可能又是一个复杂的公式。 为了解决这个自指性的困难，塔斯基引入了“满足”的概念作为真定义的基础。满足是公式和赋值之间的二元关系。一个赋值 v 是一个函数，它将语言中的每个变量映射到模型 M 的论域中的一个元素。我们记 M ⊨ φ[ v ] 为“在模型 M 中，在赋值 v 下，公式 φ 被满足”。 塔斯基真定义通过递归的方式来定义满足关系： 原子公式 ：例如，对于公式 R(t₁, …, tₙ)，其中 R 是关系符号，tᵢ 是项。我们首先根据赋值 v 和模型 M 对项的解释，计算出每个项 tᵢ 所指向的论域中的对象 aᵢ。然后，M ⊨ R(t₁, …, tₙ)[ v ] 当且仅当 M 中的关系 Rᴹ 在 (a₁, …, aₙ) 上成立。 逻辑连接词 ： M ⊨ (¬φ)[ v] 当且仅当 非 (M ⊨ φ[ v ])。 M ⊨ (φ ∧ ψ)[ v] 当且仅当 M ⊨ φ[ v] 且 M ⊨ ψ[ v ]。 （其他连接词类似定义） 量词 ：这是最关键的一步。 M ⊨ (∀x φ)[ v] 当且仅当 对于论域中的每一个个体 a，都有 M ⊨ φ[ v(x|a) ]。 这里 v(x|a) 表示一个与 v 几乎完全相同的赋值，除了它将变量 x 映射到个体 a。 通过这个递归定义，我们首先定义了最简单的情况（原子公式），然后根据公式的逻辑结构，一步步构建出更复杂公式的满足条件。最终，对于一个句子 φ（没有自由变量的公式），其是否被满足不再依赖于具体的赋值 v（因为所有变量都被量词约束了）。因此，我们可以定义“真”为： 句子 φ 在模型 M 中为真（M ⊨ φ）当且仅当 存在某个（或等价地，所有）赋值 v，满足 M ⊨ φ[ v ]。 塔斯基真定义的重要性在于，它首次为“真”这个概念提供了一个在集合论框架内完全严谨的语义学定义。它严格区分了对象语言（我们正在讨论的语言 L）和元语言（我们用来讨论对象语言的语言，如中文和集合论）。这个定义是模型论乃至整个数理逻辑的基石，确保了形式推理的语义基础牢固可靠。它同时也揭示了“真”概念的某些内在限制，为塔斯基本人关于“真”不可定义性的著名结果奠定了基础。