数学物理方程中的变分原理与哈密顿-雅可比理论（续七）
字数 2533 2025-12-01 19:57:53

数学物理方程中的变分原理与哈密顿-雅可比理论（续七）

1. 变分原理与哈密顿-雅可比理论的深层联系回顾
在前续讨论中，我们已建立变分原理与哈密顿-雅可比理论的基本框架：变分原理通过作用量的极值问题导出运动方程（欧拉-拉格朗日方程），而哈密顿-雅可比理论则通过一个偏微分方程（哈密顿-雅可比方程）来描述系统的动力学。其核心联系在于，哈密顿主函数 \(S(q,t)\) 正是作用量沿真实轨迹的取值，且满足哈密顿-雅可比方程 \(\frac{\partial S}{\partial t} + H\left(q, \frac{\partial S}{\partial q}, t\right) = 0\)。本续篇将深入探讨该理论在可积系统与扰动理论中的应用，特别是作用量-角变量理论与哈密顿-雅可比理论的结合。

2. 可积系统与作用量-角变量
对于一个具有 \(n\) 个自由度的力学系统，若存在 \(n\) 个相互对合（泊松括号为零）的独立首次积分，则该系统称为可积系统（刘维尔可积）。在此情况下，哈密顿-雅可比方程可通过分离变量法求解。

  • 作用量变量：在可积系统中，我们可定义一组特别的变量——作用量变量 \(J_k\)（\(k=1,2,...,n\)）。它们由对广义动量 \(p_i\) 沿相空间中闭合同位环路的积分给出：

\[ J_k = \oint_{\gamma_k} \sum_{i=1}^n p_i dq_i \]

其中，\(\gamma_k\) 是第 \(k\) 个独立的闭合同位环。这些 \(J_k\) 是运动常数，它们构成了系统的一组广义动量。

  • 角变量：与作用量变量 \(J_k\) 共轭的广义坐标称为角变量 \(\theta_k\)。系统的哈密顿量可完全用作用量变量表示：\(H = H(J_1, J_2, ..., J_n)\)。角变量随时间线性变化：

\[ \theta_k(t) = \omega_k t + \theta_k(0), \quad \text{其中} \quad \omega_k = \frac{\partial H}{\partial J_k} \]

这里的 \(\omega_k\) 是第 \(k\) 个自由度的频率。

3. 哈密顿-雅可比理论在可积系统中的应用
在可积系统的框架下，哈密顿-雅可比理论展现出其强大威力。

  • 哈密顿特征函数：对于能量守恒的系统（\(H = E\) 常数），我们可以寻求哈密顿-雅可比方程的一个特解，形式为 \(S(q,t) = W(q) - Et\)。代入哈密顿-雅可比方程，得到关于 \(W\) 的方程：

\[ H\left(q, \frac{\partial W}{\partial q}\right) = E \]

函数 \(W(q)\) 称为哈密顿特征函数。

  • 作用量变量与特征函数的关系：作用量变量 \(J_k\) 可以通过哈密顿特征函数 \(W\) 表示为：

\[ J_k = \oint_{\gamma_k} \frac{\partial W}{\partial q} dq = \oint_{\gamma_k} \sum_{i=1}^n \frac{\partial W}{\partial q_i} dq_i \]

这个关系清晰地揭示了作用量变量 \(J_k\) 是系统相空间几何性质的量化体现，它们由特征函数 \(W\) 的梯度沿特定环路的积分决定。

4. 扰动理论与近似可积系统
绝大多数物理系统并非完全可积。哈密顿-雅可比理论与作用量-角变量形式为处理近可积系统提供了强有力的工具——扰动理论。

  • 扰动哈密顿量：考虑一个系统的哈密顿量可以写成一个可积部分 \(H_0\) 加上一个小的扰动 \(\epsilon H_1\)：

\[ H(J, \theta) = H_0(J) + \epsilon H_1(J, \theta) \]

其中，\(H_0\) 是可积的，其作用量-角变量为 \((J, \theta)\)。\(\epsilon\) 是一个小参数。

  • 正则扰动理论：目标是寻找一个正则变换 \((J, \theta) \to (J', \theta')\)，使得在新的变量下，哈密顿量 \(K\) 尽可能不依赖于角变量 \(\theta'\)（即尽可能“可积”）。这个正则变换可以通过生成函数 \(S(J', \theta)\) 来构造。将 \(S\) 展开为 \(\epsilon\) 的幂级数：\(S = J' \cdot \theta + \epsilon S_1(J', \theta) + ...\)，并代入哈密顿-雅可比方程，可以逐阶求解 \(S_1, S_2, ...\)。一阶扰动理论下，新的哈密顿量 \(K\) 近似为：

\[ K(J') \approx H_0(J') + \epsilon \langle H_1 \rangle (J') \]

其中 \(\langle H_1 \rangle\) 是 \(H_1\) 对角变量 \(\theta\) 的平均。这表明，在一阶近似下，系统行为仍由作用量变量描述，但其有效哈密顿量发生了修正。

5. 总结与展望
本讲深入探讨了变分原理与哈密顿-雅可比理论在可积系统和扰动理论中的核心应用。作用量-角变量形式不仅为完全可积系统提供了简洁的动力学描述，更重要的是为分析近可积系统（如天体力学中的行星运动、量子力学中的准经典近似等）奠定了理论基础。扰动理论的核心思想是通过正则变换逐步“平均”掉角变量的快速振动，从而揭示系统在扰动下的长期演化行为。后续可进一步探讨该理论在KAM理论（科尔莫戈罗夫-阿诺尔德-莫泽理论）中的应用，该理论严格描述了在微小扰动下，可积系统的大部分不变环面是如何得以保存的。

数学物理方程中的变分原理与哈密顿-雅可比理论（续七） 1. 变分原理与哈密顿-雅可比理论的深层联系回顾 在前续讨论中，我们已建立变分原理与哈密顿-雅可比理论的基本框架：变分原理通过作用量的极值问题导出运动方程（欧拉-拉格朗日方程），而哈密顿-雅可比理论则通过一个偏微分方程（哈密顿-雅可比方程）来描述系统的动力学。其核心联系在于，哈密顿主函数 \( S(q,t) \) 正是作用量沿真实轨迹的取值，且满足哈密顿-雅可比方程 \( \frac{\partial S}{\partial t} + H\left(q, \frac{\partial S}{\partial q}, t\right) = 0 \)。本续篇将深入探讨该理论在可积系统与扰动理论中的应用，特别是 作用量-角变量理论 与 哈密顿-雅可比理论的结合 。 2. 可积系统与作用量-角变量 对于一个具有 \( n \) 个自由度的力学系统，若存在 \( n \) 个相互对合（泊松括号为零）的独立首次积分，则该系统称为 可积系统 （刘维尔可积）。在此情况下，哈密顿-雅可比方程可通过分离变量法求解。 作用量变量 ：在可积系统中，我们可定义一组特别的变量——作用量变量 \( J_ k \)（\( k=1,2,...,n \)）。它们由对广义动量 \( p_ i \) 沿相空间中闭合同位环路的积分给出： \[ J_ k = \oint_ {\gamma_ k} \sum_ {i=1}^n p_ i dq_ i \] 其中，\( \gamma_ k \) 是第 \( k \) 个独立的闭合同位环。这些 \( J_ k \) 是运动常数，它们构成了系统的一组广义动量。 角变量 ：与作用量变量 \( J_ k \) 共轭的广义坐标称为角变量 \( \theta_ k \)。系统的哈密顿量可完全用作用量变量表示：\( H = H(J_ 1, J_ 2, ..., J_ n) \)。角变量随时间线性变化： \[ \theta_ k(t) = \omega_ k t + \theta_ k(0), \quad \text{其中} \quad \omega_ k = \frac{\partial H}{\partial J_ k} \] 这里的 \( \omega_ k \) 是第 \( k \) 个自由度的频率。 3. 哈密顿-雅可比理论在可积系统中的应用 在可积系统的框架下，哈密顿-雅可比理论展现出其强大威力。 哈密顿特征函数 ：对于能量守恒的系统（\( H = E \) 常数），我们可以寻求哈密顿-雅可比方程的一个特解，形式为 \( S(q,t) = W(q) - Et \)。代入哈密顿-雅可比方程，得到关于 \( W \) 的方程： \[ H\left(q, \frac{\partial W}{\partial q}\right) = E \] 函数 \( W(q) \) 称为 哈密顿特征函数 。 作用量变量与特征函数的关系 ：作用量变量 \( J_ k \) 可以通过哈密顿特征函数 \( W \) 表示为： \[ J_ k = \oint_ {\gamma_ k} \frac{\partial W}{\partial q} dq = \oint_ {\gamma_ k} \sum_ {i=1}^n \frac{\partial W}{\partial q_ i} dq_ i \] 这个关系清晰地揭示了作用量变量 \( J_ k \) 是系统相空间几何性质的量化体现，它们由特征函数 \( W \) 的梯度沿特定环路的积分决定。 4. 扰动理论与近似可积系统 绝大多数物理系统并非完全可积。哈密顿-雅可比理论与作用量-角变量形式为处理近可积系统提供了强有力的工具—— 扰动理论 。 扰动哈密顿量 ：考虑一个系统的哈密顿量可以写成一个可积部分 \( H_ 0 \) 加上一个小的扰动 \( \epsilon H_ 1 \)： \[ H(J, \theta) = H_ 0(J) + \epsilon H_ 1(J, \theta) \] 其中，\( H_ 0 \) 是可积的，其作用量-角变量为 \( (J, \theta) \)。\( \epsilon \) 是一个小参数。 正则扰动理论 ：目标是寻找一个 正则变换 \( (J, \theta) \to (J', \theta') \)，使得在新的变量下，哈密顿量 \( K \) 尽可能不依赖于角变量 \( \theta' \)（即尽可能“可积”）。这个正则变换可以通过生成函数 \( S(J', \theta) \) 来构造。将 \( S \) 展开为 \( \epsilon \) 的幂级数：\( S = J' \cdot \theta + \epsilon S_ 1(J', \theta) + ... \)，并代入哈密顿-雅可比方程，可以逐阶求解 \( S_ 1, S_ 2, ... \)。一阶扰动理论下，新的哈密顿量 \( K \) 近似为： \[ K(J') \approx H_ 0(J') + \epsilon \langle H_ 1 \rangle (J') \] 其中 \( \langle H_ 1 \rangle \) 是 \( H_ 1 \) 对角变量 \( \theta \) 的平均。这表明，在一阶近似下，系统行为仍由作用量变量描述，但其有效哈密顿量发生了修正。 5. 总结与展望 本讲深入探讨了变分原理与哈密顿-雅可比理论在可积系统和扰动理论中的核心应用。作用量-角变量形式不仅为完全可积系统提供了简洁的动力学描述，更重要的是为分析近可积系统（如天体力学中的行星运动、量子力学中的准经典近似等）奠定了理论基础。扰动理论的核心思想是通过正则变换逐步“平均”掉角变量的快速振动，从而揭示系统在扰动下的长期演化行为。后续可进一步探讨该理论在 KAM理论 （科尔莫戈罗夫-阿诺尔德-莫泽理论）中的应用，该理论严格描述了在微小扰动下，可积系统的大部分不变环面是如何得以保存的。