数学物理方程中的变分原理与哈密顿-雅可比理论（续六）

字数 2190 2025-12-01 19:14:32

数学物理方程中的变分原理与哈密顿-雅可比理论（续六）

步骤1：回顾哈密顿-雅可比方程的基本形式

哈密顿-雅可比方程是分析力学中的核心方程，它将力学系统的运动转化为一个偏微分方程的求解问题。设系统的哈密顿量为 \(H(q_1, \dots, q_n, p_1, \dots, p_n, t)\)，其中 \(q_i\) 为广义坐标，\(p_i\) 为广义动量。哈密顿-雅可比方程表示为：

\[\frac{\partial S}{\partial t} + H\left(q_1, \dots, q_n, \frac{\partial S}{\partial q_1}, \dots, \frac{\partial S}{\partial q_n}, t\right) = 0, \]

其中 \(S(q_1, \dots, q_n, t)\) 称为哈密顿主函数，其全微分与广义动量满足 \(p_i = \frac{\partial S}{\partial q_i}\)。该方程的解 \(S\) 描述了系统在相空间中的演化轨迹。

步骤2：哈密顿-雅可比方程的可分性条件

若哈密顿量不显含时间（保守系统），可分离时间变量，令 \(S(q, t) = W(q) - Et\)，其中 \(E\) 为系统能量，\(W\) 称为特征函数。代入原方程得到时间无关的哈密顿-雅可比方程：

\[H\left(q_1, \dots, q_n, \frac{\partial W}{\partial q_1}, \dots, \frac{\partial W}{\partial q_n}\right) = E. \]

进一步，若某个坐标 \(q_k\) 和其导数 \(\frac{\partial W}{\partial q_k}\) 在方程中仅以组合形式 \(f\left(q_k, \frac{\partial W}{\partial q_k}\right)\) 出现，且与其他变量分离，则称方程关于 \(q_k\) 可分离。此时可设 \(W(q) = \sum_{i=1}^n W_i(q_i)\)，将偏微分方程简化为一系列常微分方程。

步骤3：可分离系统的作用量变量与角变量

对于完全可分离的系统，存在一组作用量变量 \(J_i\)（常数），定义为：

\[J_i = \oint p_i \, dq_i = \oint \frac{\partial W_i}{\partial q_i} \, dq_i, \]

其中积分沿一个周期运动路径。对应的角变量 \(\theta_i\) 由 \(\theta_i = \frac{\partial W}{\partial J_i}\) 定义，其运动方程为 \(\dot{\theta_i} = \frac{\partial H}{\partial J_i} = \omega_i\)（常数），表明角变量随时间线性变化。这对变量构成了相空间中的正则变换，简化了周期运动的分析。

步骤4：哈密顿-雅可比理论与量子化的联系

在旧量子论中，索末菲和威尔逊将作用量变量与量子化条件关联，提出：

\[J_i = n_i h \quad (n_i \in \mathbb{Z}), \]

其中 \(h\) 为普朗克常数。这一条件用于解释原子光谱的离散性。例如，氢原子的哈密顿-雅可比方程在球坐标下可分离，作用量变量 \(J_r, J_\theta, J_\phi\) 的量子化导出能级公式。这一思想后来被矩阵力学和波动力学继承，成为量子力学的基础。

步骤5：典型应用示例——开普勒问题

考虑平方反比势场中的运动（如行星轨道），哈密顿量为：

\[H = \frac{1}{2m}\left(p_r^2 + \frac{p_\theta^2}{r^2} + \frac{p_\phi^2}{r^2 \sin^2\theta}\right) - \frac{k}{r}. \]

通过球坐标下的变量分离，得到特征函数 \(W = W_r(r) + W_\theta(\theta) + W_\phi(\phi)\)。作用量变量 \(J_\phi, J_\theta, J_r\) 的计算显示：

\(J_\phi\) 对应角动量的 \(z\) 分量，
\(J_\theta\) 与总角动量相关，
\(J_r\) 依赖能量 \(E\) 和角动量。
量子化条件 \(J_i = n_i h\) 直接导出玻尔模型的能级公式 \(E_n = -\frac{m k^2}{2n^2 h^2}\)。

步骤6：数学物理中的推广与意义

哈密顿-雅可比理论不仅限于力学，还应用于光学（程函方程）、广义相对论（粒子在弯曲时空中的运动）和金融数学（最优控制问题）。其核心价值在于将动力学问题转化为几何问题：解 \(S(q,t)\) 的等高面定义了相空间中的波前，运动轨迹垂直于这些波前，这体现了力学与光学的深刻类比（如费马原理与莫佩尔蒂原理的统一）。

数学物理方程中的变分原理与哈密顿-雅可比理论（续六）步骤1：回顾哈密顿-雅可比方程的基本形式哈密顿-雅可比方程是分析力学中的核心方程，它将力学系统的运动转化为一个偏微分方程的求解问题。设系统的哈密顿量为 \( H(q_ 1, \dots, q_ n, p_ 1, \dots, p_ n, t) \)，其中 \( q_ i \) 为广义坐标，\( p_ i \) 为广义动量。哈密顿-雅可比方程表示为： \[ \frac{\partial S}{\partial t} + H\left(q_ 1, \dots, q_ n, \frac{\partial S}{\partial q_ 1}, \dots, \frac{\partial S}{\partial q_ n}, t\right) = 0, \] 其中 \( S(q_ 1, \dots, q_ n, t) \) 称为哈密顿主函数，其全微分与广义动量满足 \( p_ i = \frac{\partial S}{\partial q_ i} \)。该方程的解 \( S \) 描述了系统在相空间中的演化轨迹。步骤2：哈密顿-雅可比方程的可分性条件若哈密顿量不显含时间（保守系统），可分离时间变量，令 \( S(q, t) = W(q) - Et \)，其中 \( E \) 为系统能量，\( W \) 称为特征函数。代入原方程得到时间无关的哈密顿-雅可比方程： \[ H\left(q_ 1, \dots, q_ n, \frac{\partial W}{\partial q_ 1}, \dots, \frac{\partial W}{\partial q_ n}\right) = E. \] 进一步，若某个坐标 \( q_ k \) 和其导数 \( \frac{\partial W}{\partial q_ k} \) 在方程中仅以组合形式 \( f\left(q_ k, \frac{\partial W}{\partial q_ k}\right) \) 出现，且与其他变量分离，则称方程关于 \( q_ k \) 可分离。此时可设 \( W(q) = \sum_ {i=1}^n W_ i(q_ i) \)，将偏微分方程简化为一系列常微分方程。步骤3：可分离系统的作用量变量与角变量对于完全可分离的系统，存在一组作用量变量 \( J_ i \)（常数），定义为： \[ J_ i = \oint p_ i \, dq_ i = \oint \frac{\partial W_ i}{\partial q_ i} \, dq_ i, \] 其中积分沿一个周期运动路径。对应的角变量 \( \theta_ i \) 由 \( \theta_ i = \frac{\partial W}{\partial J_ i} \) 定义，其运动方程为 \( \dot{\theta_ i} = \frac{\partial H}{\partial J_ i} = \omega_ i \)（常数），表明角变量随时间线性变化。这对变量构成了相空间中的正则变换，简化了周期运动的分析。步骤4：哈密顿-雅可比理论与量子化的联系在旧量子论中，索末菲和威尔逊将作用量变量与量子化条件关联，提出： \[ J_ i = n_ i h \quad (n_ i \in \mathbb{Z}), \] 其中 \( h \) 为普朗克常数。这一条件用于解释原子光谱的离散性。例如，氢原子的哈密顿-雅可比方程在球坐标下可分离，作用量变量 \( J_ r, J_ \theta, J_ \phi \) 的量子化导出能级公式。这一思想后来被矩阵力学和波动力学继承，成为量子力学的基础。步骤5：典型应用示例——开普勒问题考虑平方反比势场中的运动（如行星轨道），哈密顿量为： \[ H = \frac{1}{2m}\left(p_ r^2 + \frac{p_ \theta^2}{r^2} + \frac{p_ \phi^2}{r^2 \sin^2\theta}\right) - \frac{k}{r}. \] 通过球坐标下的变量分离，得到特征函数 \( W = W_ r(r) + W_ \theta(\theta) + W_ \phi(\phi) \)。作用量变量 \( J_ \phi, J_ \theta, J_ r \) 的计算显示： \( J_ \phi \) 对应角动量的 \( z \) 分量， \( J_ \theta \) 与总角动量相关， \( J_ r \) 依赖能量 \( E \) 和角动量。量子化条件 \( J_ i = n_ i h \) 直接导出玻尔模型的能级公式 \( E_ n = -\frac{m k^2}{2n^2 h^2} \)。步骤6：数学物理中的推广与意义哈密顿-雅可比理论不仅限于力学，还应用于光学（程函方程）、广义相对论（粒子在弯曲时空中的运动）和金融数学（最优控制问题）。其核心价值在于将动力学问题转化为几何问题：解 \( S(q,t) \) 的等高面定义了相空间中的波前，运动轨迹垂直于这些波前，这体现了力学与光学的深刻类比（如费马原理与莫佩尔蒂原理的统一）。