分析学词条：哈恩-巴拿赫延拓定理
我们先从一个直观的几何问题开始。想象在一条直线上（这可以看作一个一维的线性空间）定义了一个线性函数，比如 \(f(x) = 2x\)。现在，我们希望将这个函数的定义域“延拓”到整个平面上（一个二维的线性空间），并且要求延拓后的函数 \(F\) 仍然是线性的，即 \(F(x, y) = ax + by\)，同时，在原来的直线上（即 \(y=0\) 时），\(F\) 必须和 \(f\) 完全一致，即 \(F(x, 0) = f(x) = 2x\)。一个很自然的延拓是 \(F(x, y) = 2x + 0 \cdot y\)。哈恩-巴拿赫定理处理的就是这类问题的无限维推广，并且附加了一个关键条件：控制函数的“大小”。
第一步：核心概念与定理陈述
这个定理讨论的对象是“赋范线性空间” \(X\) 及其上的“线性泛函”。简单来说：
- 赋范线性空间：一个既有线性结构（可以做加法和数乘）又有长度概念（范数 \(\|\cdot\|\)）的集合，比如我们熟悉的 \(n\) 维欧几里得空间 \(\mathbb{R}^n\)。
- 线性泛函：一个从空间 \(X\) 到实数（或复数）域 \(\mathbb{K}\) 的线性映射 \(f: X \to \mathbb{K}\)。它满足 \(f(\alpha x + \beta y) = \alpha f(x) + \beta f(y)\)。
- 有界线性泛函：如果存在一个常数 \(M > 0\)，使得对于所有 \(x \in X\)，都有 \(|f(x)| \leq M \|x\|\)，那么 \(f\) 就是有界的。有界线性泛函的“大小”用它的范数 \(\|f\|\) 来衡量，定义为使得上述不等式成立的最小常数 \(M\)，也可以等价地定义为 \(\|f\| = \sup \{ |f(x)| : \|x\| \leq 1 \}\)。
现在，设 \(M\) 是 \(X\) 的一个子空间，\(f: M \to \mathbb{K}\) 是定义在 \(M\) 上的一个有界线性泛函。哈恩-巴拿赫延拓定理断言：
存在一个定义在全空间 \(X\) 上的有界线性泛函 \(F: X \to \mathbb{K}\)，满足以下两个条件：
- 延拓性：对于所有属于子空间 \(M\) 的向量 \(x\)，有 \(F(x) = f(x)\)。也就是说，\(F\) 在 \(M\) 上的行为和原来的 \(f\) 一模一样。
- 保范性：延拓后的泛函 \(F\) 的范数等于原来泛函 \(f\) 的范数，即 \(\|F\|_X = \|f\|_M\)。
用公式表示就是：
\[F|_M = f \quad \text{且} \quad \|F\|_{X} = \|f\|_{M} \]
其中 \(\|F\|_X = \sup \{ |F(x)| : x \in X, \|x\| \leq 1 \}\)，\(\|f\|_M = \sup \{ |f(x)| : x \in M, \|x\| \leq 1 \}\)。
第二步：一个关键引理与证明思路
定理的完整证明通常分为两步，其核心是一个一维延拓引理。这个引理展示了如何将泛函从子空间 \(M\) 延拓到比 \(M\) “多一维”的更大子空间 \(M \oplus \operatorname{span}\{x_0\}\)（其中 \(x_0 \notin M\)）上，并且保持范数不变。
一维延拓引理：设 \(M\) 是 \(X\) 的真子空间，\(x_0 \in X \setminus M\)。令 \(M_1 = M \oplus \operatorname{span}\{x_0\}\)。如果 \(f\) 是 \(M\) 上的有界线性泛函，那么存在 \(M_1\) 上的有界线性泛函 \(f_1\)，使得 \(f_1|_M = f\) 且 \(\|f_1\|_{M_1} = \|f\|_M\)。
证明思路的精髓：
关键在于为 \(f_1\) 在 \(x_0\) 这个新方向上的值 \(f_1(x_0)\) 选择一个适当的常数 \(\alpha\)。由于线性性，\(M_1\) 中任何向量 \(z\) 都可唯一表示为 \(z = x + t x_0\)（其中 \(x \in M, t \in \mathbb{K}\)），于是延拓 \(f_1\) 必须定义为：
\[f_1(z) = f_1(x + t x_0) = f(x) + t \alpha, \quad \alpha = f_1(x_0) \]
问题转化为：如何选择 \(\alpha\)，才能保证 \(f_1\) 的范数不超过 \(f\) 的范数，即 \(|f_1(z)| \leq \|f\|_M \|z\|\) 对所有 \(z \in M_1\) 成立？
通过巧妙的代数运算和实数集的上确界性质，可以证明这样的 \(\alpha\) 是存在的。这本质上是将函数从低维空间“保持平坦性”地扩展到高维空间，同时不引入任何“额外的陡峭度”。
第三步：从有限维延拓到无限维——佐恩引理的应用
一维延拓引理只让我们前进了一步。对于无限维空间 \(X\)，我们需要无限步这样的延拓才能覆盖整个空间。这时就需要用到佐恩引理（它与选择公理等价）。
我们考虑一个集合，其中的元素是所有满足“延拓性”和“保范性”的 \((N, g)\) 对，这里 \(N\) 是包含 \(M\) 的子空间，\(g\) 是 \(f\) 在 \(N\) 上的保范延拓。在这个集合上定义偏序关系：\((N_1, g_1) \preceq (N_2, g_2)\) 当且仅当 \(N_1 \subseteq N_2\) 且 \(g_2|_{N_1} = g_1\)。
佐恩引理指出，如果这个偏序集的每个链（即全序子集）都有上界，那么该偏序集存在一个极大元。这个极大元对应的子空间必须是整个空间 \(X\)（否则，我们可以用一维延拓引理再次延拓，与极大性矛盾）。因此，这个极大元就是我们想要的整个空间 \(X\) 上的保范延拓 \(F\)。
第四步：定理的重要意义与应用
哈恩-巴拿赫定理是泛函分析的基石之一，其威力在于：
- 保证泛函的存在性：即使我们不知道 \(F\) 的具体形式，定理也保证了它的存在。例如，对于任意非零向量 \(x_0 \in X\)，我们可以构造一个定义在 \(\operatorname{span}\{x_0\}\) 上的泛函 \(f(\lambda x_0) = \lambda \|x_0\|\)，然后将其保范延拓到全空间，得到一个泛函 \(F\) 满足 \(F(x_0) = \|x_0\|\) 且 \(\|F\|=1\)。这说明了赋范空间上存在“足够多”的有界线性泛函。
- 分离超平面定理的基础：哈恩-巴拿赫定理的几何形式是凸集分离定理，它指出两个不相交的凸集可以用一个超平面严格分开。这是优化理论、经济学和几何学中的基本工具。
- 对偶空间的丰富性：定理确保了空间 \(X\) 的对偶空间 \(X^*\)（即所有有界线性泛函构成的空间）包含了关于 \(X\) 的丰富信息，使得对偶理论得以发展。
总结来说，哈恩-巴拿赫延拓定理的核心结论是：定义在赋范线性空间子空间上的有界线性泛函，总可以保持范数不变地延拓到整个空间上。 \(\boxed{\text{这个结论深刻地联系了局部性质与全局性质，是泛函分析中强有力的存在性定理}}\)