随机变量的变换的Dirichlet过程
字数 2039 2025-12-01 13:36:17

随机变量的变换的Dirichlet过程

第一步：Dirichlet过程的定义与基本性质
Dirichlet过程是一种定义在概率分布空间上的随机测度，常用于非参数贝叶斯统计。其严格定义如下：设 \(H\) 是一个基础概率测度（基分布），\(\alpha > 0\) 是集中度参数，若随机概率测度 \(G\) 满足对任意可测空间的可划分 \((A_1, A_2, \dots, A_k)\)，向量 \((G(A_1), \dots, G(A_k))\) 服从Dirichlet分布 \(\text{Dir}(\alpha H(A_1), \dots, \alpha H(A_k))\)，则称 \(G\) 服从Dirichlet过程，记为 \(G \sim \text{DP}(\alpha, H)\)。
性质：

  1. 边缘分布：对任意可测集 \(A\)，有 \(\mathbb{E}[G(A)] = H(A)\)，\(\text{Var}(G(A)) = \frac{H(A)(1-H(A))}{\alpha+1}\)。
  2. 离散性：Dirichlet过程以概率1生成离散的分布，即使 \(H\) 是连续分布。

第二步：Dirichlet过程的构造方法

  1. Stick-breaking 构造：
    令 \(\beta_i \sim \text{Beta}(1, \alpha)\)，\(\theta_i \sim H\)，独立采样。定义权重 \(\pi_i = \beta_i \prod_{j=1}^{i-1}(1-\beta_j)\)，则 \(G = \sum_{i=1}^{\infty} \pi_i \delta_{\theta_i}\) 满足 \(G \sim \text{DP}(\alpha, H)\)。此构造直观展示了Dirichlet过程的离散性。
  2. Pólya urn 机制：
    假设从 \(G\) 中依次抽取样本 \(\theta_1, \theta_2, \dots\)，其条件分布满足：

\[ \theta_{n+1} \mid \theta_1, \dots, \theta_n \sim \frac{\alpha}{\alpha + n} H + \frac{1}{\alpha + n} \sum_{i=1}^n \delta_{\theta_i}. \]

该机制体现了Dirichlet过程的聚类特性（新样本倾向于已存在的值）。

第三步：Dirichlet过程在随机变量变换中的应用
Dirichlet过程常作为先验用于分布函数的变换问题。例如，在非参数回归中，假设响应变量 \(Y\) 的分布随协变量 \(X\) 变化，可设定 \(Y \mid X \sim G_X\)，其中 \(G_X \sim \text{DP}(\alpha, H)\)。通过引入依赖关系（如使用高斯过程或核函数），可扩展为依赖数据的Dirichlet过程（Dependent Dirichlet Process）。此时，随机变量的变换体现在基分布 \(H\) 或参数 \(\alpha\) 随 \(X\) 变化，从而灵活建模复杂分布形态。

第四步：统计推断与抽样算法

  1. 后验分布：若观测数据 \(\theta_1, \dots, \theta_n \sim G\)，且 \(G \sim \text{DP}(\alpha, H)\)，则后验分布为

\[ G \mid \theta_1, \dots, \theta_n \sim \text{DP}\left(\alpha + n, \frac{\alpha H + \sum_{i=1}^n \delta_{\theta_i}}{\alpha + n}\right). \]

  1. Gibbs抽样：
    利用Pólya urn机制，通过迭代分配每个数据点到已有聚类或新聚类（基于Chinese Restaurant Process表示）实现后验采样。
  2. 变分推断：
    对Stick-breaking权重进行截断近似，将无限维问题转化为有限维优化，提升计算效率。

第五步：扩展与实际问题

  1. 层次Dirichlet过程：
    用于分组数据建模，允许不同组共享聚类结构。
  2. Dirichlet过程混合模型：
    将Dirichlet过程作为混合组分数量的先验，自动确定聚类数（如高斯混合模型）。
  3. 应用场景：
    • 文本建模（主题模型中的潜在Dirichlet分配）。
    • 图像分割（像素分布的非参数建模）。
    • 生存分析（危险函数的灵活估计）。

Dirichlet过程通过其非参数特性，为随机变量分布的变换提供了无需预设模型结构的强大工具，特别适用于分布形态未知或复杂的场景。

随机变量的变换的Dirichlet过程 第一步：Dirichlet过程的定义与基本性质 Dirichlet过程是一种定义在概率分布空间上的随机测度，常用于非参数贝叶斯统计。其严格定义如下：设 \( H \) 是一个基础概率测度（基分布），\( \alpha > 0 \) 是集中度参数，若随机概率测度 \( G \) 满足对任意可测空间的可划分 \( (A_ 1, A_ 2, \dots, A_ k) \)，向量 \( (G(A_ 1), \dots, G(A_ k)) \) 服从Dirichlet分布 \( \text{Dir}(\alpha H(A_ 1), \dots, \alpha H(A_ k)) \)，则称 \( G \) 服从Dirichlet过程，记为 \( G \sim \text{DP}(\alpha, H) \)。 性质： 边缘分布 ：对任意可测集 \( A \)，有 \( \mathbb{E}[ G(A) ] = H(A) \)，\( \text{Var}(G(A)) = \frac{H(A)(1-H(A))}{\alpha+1} \)。 离散性 ：Dirichlet过程以概率1生成离散的分布，即使 \( H \) 是连续分布。 第二步：Dirichlet过程的构造方法 Stick-breaking 构造 ： 令 \( \beta_ i \sim \text{Beta}(1, \alpha) \)，\( \theta_ i \sim H \)，独立采样。定义权重 \( \pi_ i = \beta_ i \prod_ {j=1}^{i-1}(1-\beta_ j) \)，则 \( G = \sum_ {i=1}^{\infty} \pi_ i \delta_ {\theta_ i} \) 满足 \( G \sim \text{DP}(\alpha, H) \)。此构造直观展示了Dirichlet过程的离散性。 Pólya urn 机制 ： 假设从 \( G \) 中依次抽取样本 \( \theta_ 1, \theta_ 2, \dots \)，其条件分布满足： \[ \theta_ {n+1} \mid \theta_ 1, \dots, \theta_ n \sim \frac{\alpha}{\alpha + n} H + \frac{1}{\alpha + n} \sum_ {i=1}^n \delta_ {\theta_ i}. \] 该机制体现了Dirichlet过程的聚类特性（新样本倾向于已存在的值）。 第三步：Dirichlet过程在随机变量变换中的应用 Dirichlet过程常作为先验用于分布函数的变换问题。例如，在非参数回归中，假设响应变量 \( Y \) 的分布随协变量 \( X \) 变化，可设定 \( Y \mid X \sim G_ X \)，其中 \( G_ X \sim \text{DP}(\alpha, H) \)。通过引入依赖关系（如使用高斯过程或核函数），可扩展为依赖数据的Dirichlet过程（Dependent Dirichlet Process）。此时，随机变量的变换体现在基分布 \( H \) 或参数 \( \alpha \) 随 \( X \) 变化，从而灵活建模复杂分布形态。 第四步：统计推断与抽样算法 后验分布 ：若观测数据 \( \theta_ 1, \dots, \theta_ n \sim G \)，且 \( G \sim \text{DP}(\alpha, H) \)，则后验分布为 \[ G \mid \theta_ 1, \dots, \theta_ n \sim \text{DP}\left(\alpha + n, \frac{\alpha H + \sum_ {i=1}^n \delta_ {\theta_ i}}{\alpha + n}\right). \] Gibbs抽样 ： 利用Pólya urn机制，通过迭代分配每个数据点到已有聚类或新聚类（基于Chinese Restaurant Process表示）实现后验采样。 变分推断 ： 对Stick-breaking权重进行截断近似，将无限维问题转化为有限维优化，提升计算效率。 第五步：扩展与实际问题 层次Dirichlet过程 ： 用于分组数据建模，允许不同组共享聚类结构。 Dirichlet过程混合模型 ： 将Dirichlet过程作为混合组分数量的先验，自动确定聚类数（如高斯混合模型）。 应用场景 ： 文本建模（主题模型中的潜在Dirichlet分配）。 图像分割（像素分布的非参数建模）。 生存分析（危险函数的灵活估计）。 Dirichlet过程通过其非参数特性，为随机变量分布的变换提供了无需预设模型结构的强大工具，特别适用于分布形态未知或复杂的场景。