模的Gorenstein内射维数 我们先从模的内射维数概念开始。设 \( R \) 是一个环，\( M \) 是一个左 \( R \)-模。内射维数（记为 \(\text{id}_ R(M)\)）定义为 \( M \) 的一个内射分解的最短可能长度。更具体地说，如果存在一个正合序列： \[ 0 \to M \to E^0 \to E^1 \to \cdots \to E^n \to 0 \] 其中每个 \( E^i \) 是内射模，并且 \( n \) 是最小的这样的整数，则 \(\text{id}_ R(M) = n\)。如果不存在这样的有限长度分解，则内射维数为无穷大。 接下来，我们引入 Gorenstein 内射模的概念。一个模 \( G \) 称为 Gorenstein 内射模，如果存在一个内射模的正合序列： \[ \cdots \to E_ 1 \to E_ 0 \to E^0 \to E^1 \to \cdots \] 使得 \( G = \ker(E^0 \to E^1) \)，并且对任意内射模 \( I \)，函子 \(\text{Hom}_ R(I, -)\) 保持该序列的正合性。直观上，Gorenstein 内射模可以看作是“无限”内射维数的内射模的循环模，但它们本身可能不是内射模。 现在，我们可以定义模的 Gorenstein 内射维数（记为 \(\text{Gid}_ R(M)\)）。它定义为 \( M \) 的一个 Gorenstein 内射分解的最短可能长度。即，如果存在一个正合序列： \[ 0 \to M \to G^0 \to G^1 \to \cdots \to G^n \to 0 \] 其中每个 \( G^i \) 是 Gorenstein 内射模，并且 \( n \) 是最小的这样的整数，则 \(\text{Gid}_ R(M) = n\)。如果不存在这样的有限长度分解，则 Gorenstein 内射维数为无穷大。 Gorenstein 内射维数是对经典内射维数的推广，它在非诺特环或具有高维奇点的环上更有优势。例如，如果 \( R \) 是 Gorenstein 环（即，\( R \) 作为模在自身上的内射维数有限），那么一个模的 Gorenstein 内射维数有限当且仅当其经典内射维数有限，但 Gorenstein 维数提供了更精细的同调不变量。 计算 Gorenstein 内射维数通常需要利用导出函子。例如，\(\text{Gid}_ R(M) \leq n\) 当且仅当对任意 \( i > n \) 和任意内射模 \( I \)，有 \(\text{Ext}^i_ R(I, M) = 0\)。这类似于经典内射维数的判定条件，但将内射模替换为 Gorenstein 内射模的角色。 最后，Gorenstein 内射维数在相对同调代数中扮演重要角色，特别是在研究模的稳定范畴和 Tate 上同调时。它也与 Gorenstein 投射维数和平坦维数一起，构成了现代同调代数理论的核心工具。