模的Gorenstein平坦维数 我们先从模的平坦维数开始。设 \( R \) 是一个环，\( M \) 是一个 \( R \)-模。一个模 \( M \) 的平坦维数，记作 \( \mathrm{fd} R(M) \)，定义为存在一个正合序列 \[ 0 \longrightarrow F_ n \longrightarrow F {n-1} \longrightarrow \cdots \longrightarrow F_ 0 \longrightarrow M \longrightarrow 0 \] 的最小非负整数 \( n \)，其中每个 \( F_ i \) 是平坦模。如果不存在这样的有限长度的平坦分解，则平坦维数为无穷大。平坦维数衡量了一个模偏离平坦模的程度。 接下来，我们引入Gorenstein平坦模的概念。一个 \( R \)-模 \( M \) 称为Gorenstein平坦模，如果存在一个由平坦模构成的正合序列 \[ \mathbf{F}: \cdots \longrightarrow F_ 1 \longrightarrow F_ 0 \longrightarrow F^0 \longrightarrow F^1 \longrightarrow \cdots \] 使得 \( M = \mathrm{im}(F_ 0 \to F^0) \)，并且对任意内射模 \( I \)，函子 \( \mathrm{Hom}_ R(-, I) \) 作用在序列 \( \mathbf{F} \) 上后仍然正合。直观地说，Gorenstein平坦模是平坦模的一种“推广”，它们在某些非正则环（如Gorenstein环）的研究中扮演重要角色。 现在，我们可以定义模的Gorenstein平坦维数。一个 \( R \)-模 \( M \) 的Gorenstein平坦维数，记作 \( \mathrm{Gfd} R(M) \)，定义为存在一个正合序列 \[ 0 \longrightarrow G_ n \longrightarrow G {n-1} \longrightarrow \cdots \longrightarrow G_ 0 \longrightarrow M \longrightarrow 0 \] 的最小非负整数 \( n \)，其中每个 \( G_ i \) 是Gorenstein平坦模。如果不存在这样的有限长度的Gorenstein平坦分解，则Gorenstein平坦维数为无穷大。 Gorenstein平坦维数在环的同调理论中具有重要意义，特别是在研究Gorenstein环和Cohen-Macaulay环时。例如，当 \( R \) 是Gorenstein环时，每个模的Gorenstein平坦维数都是有限的，并且与其它同调维数（如投射维数、内射维数）有紧密联系。