傅里叶余弦展开方法（Fourier Cosine Expansion Method, COS Method） 第一步：理解数值定价的核心挑战 在金融衍生品定价中，许多模型（如赫斯顿随机波动率模型、方差伽马模型等）的资产价格动态过程没有简单的闭式解。其概率密度函数可能很复杂，但特征函数（即概率密度函数的傅里叶变换）往往有简洁的解析表达式。核心挑战是：如何高效且高精度地利用这个已知的特征函数来计算期权价格（一个积分问题）。 第二步：傅里叶余弦展开方法的基本思想 COS方法的核心思想是：将期权定价公式中的积分（即期望值计算）转化为一个快速计算的级数和。这个过程分为三个关键部分： 概率密度函数的余弦级数逼近 ：任何在有限区间 [a, b] 上平方可积的函数（如概率密度函数 f(y) ）都可以用余弦级数展开。其近似表达式为： f(y) ≈ Σ'_{k=0}^{N-1} F_k · cos(kπ (y-a)/(b-a)) 其中 Σ' 表示求和的第一项需要乘以 1/2 。系数 F_k 是 (2/(b-a)) 乘以 f(y) 与余弦函数在区间 [a, b] 上的内积。 关键洞察：系数 F_k 与特征函数的关系 ：计算 F_k 需要知道 f(y) ，而这正是我们想避免的。但COS方法的巧妙之处在于，当区间 [a, b] 选择得当时，系数 F_k 可以非常精确地由特征函数 φ(ω) 来近似表达： F_k ≈ (2/(b-a)) · Re{ φ(kπ/(b-a)) · exp(-i kπa/(b-a)) } 这里 Re 表示取复数的实部， i 是虚数单位。这样，我们完全绕过了复杂的密度函数 f(y) ，直接使用我们已知的、简单的特征函数 φ 。 期权价值的级数表达 ：期权的支付函数在风险中性测度下的期望值就是其价格。将这个积分中的密度函数 f(y) 用第一步的余弦级数代替，并交换积分和求和顺序，期权价格 V 最终可表示为： V ≈ exp(-rT) · Σ'_{k=0}^{N-1} Re{ φ(kπ/(b-a)) · exp(-i kπa/(b-a)) } · V_k 其中 V_k 是支付函数的“余弦系数”，是一个只依赖于期权类型（如看涨、看跌）和区间 [a, b] 的解析式，可以预先计算好。 第三步：COS方法的实施步骤 选择截断区间 [ a, b] ：这个区间需要覆盖资产对数价格在到期日 T 时的主要概率分布。通常使用资产价格的累积量（如均值、方差、偏度、峰度）来设定。一个常用公式是： [a, b] = [c1 - L√(c2 + √c4), c1 + L√(c2 + √c4)] ，其中 c1, c2, c4 是分布的前几个累积量， L 是一个常数（如10到20），以确保足够精度。 确定级数项数 N ： N 越大，逼近越精确，但计算量也越大。通常 N 在50到300之间就能达到极高的精度，这远优于很多蒙特卡洛模拟。 计算特征函数的值 ：对于 k = 0, 1, ..., N-1 ，计算特征函数 φ 在点 ω = kπ/(b-a) 处的值。 计算支付函数的余弦系数 V_ k ：例如，对于一个执行价为 K 的欧式看涨期权，其 V_k 有解析解。 执行加权求和 ：将第3步和第4步的结果代入第二步中的最终公式，进行求和计算，得到期权价格。 第四步：COS方法的优势与应用 指数级收敛 ：对于具有平滑概率密度函数的模型，COS方法的误差以指数速度衰减，这意味着用很少的项数（N）就能达到机器精度。 计算效率极高 ：计算复杂度为 O(N)，远快于蒙特卡洛方法 (O(1/ε²)) 或复杂的数值积分。 通用性强 ：只要知道模型的特征函数，就可以应用此方法。它广泛应用于赫斯顿模型、方差伽马模型、CGMY模型等高级资产定价模型下的欧式期权定价。 扩展性 ：该方法可以扩展到某些路径依赖期权（如百慕大期权）的定价。