模的Gorenstein投射维数 我们先从模的投射维数开始理解。设R是环，M是左R-模。M的投射维数pd(M)定义为最短的投射分解的长度。更精确地说，如果存在正合序列0→P_ n→…→P_ 1→P_ 0→M→0，其中每个P_ i是投射模，则pd(M)≤n；如果不存在有限长度的投射分解，则pd(M)=∞。 投射维数衡量模离投射模的“距离”。投射维数为0当且仅当模是投射模。对任意模M，pd(M)可定义为使得函子Ext^{n+1}(M,-)为零的最小非负整数n。 现在考虑Gorenstein投射模的概念。模G称为Gorenstein投射模，如果存在由投射模组成的正合序列…→P_ 1→P_ 0→P^0→P^1→…，使得G同构于这个序列的某个核，并且对任意投射模Q，Hom(-,Q)保持这个序列的正合性。等价地，存在投射模的正合序列使得G是其的稳定核，并且Ext^1(G,Q)=0对所有投射模Q成立。 基于Gorenstein投射模，可定义模的Gorenstein投射维数Gpd(M)。如果存在正合序列0→G_ n→…→G_ 1→G_ 0→M→0，其中每个G_ i是Gorenstein投射模，则Gpd(M)≤n。Gpd(M)是满足上述条件的最小n，若不存在有限长度的这样的分解，则Gpd(M)=∞。 Gorenstein投射维数具有与经典投射维数类似的性质。例如，Gpd(M)=0当且仅当M是Gorenstein投射模。短正合序列0→A→B→C→0满足Gpd(B)≤max{Gpd(A),Gpd(C)}，且若Gpd(A)有限则Gpd(C)≤max{Gpd(A)+1,Gpd(B)}。 一个重要结论是：在左Noether环R上，若M是有限生成模，则Gpd(M)=sup{i| Ext^i(M,R)≠0}。这提供了计算Gorenstein投射维数的一个同调判别法。 Gorenstein投射维数在Gorenstein环理论中尤为重要。若R是n维Gorenstein环，则每个有限生成R-模的Gorenstein投射维数有限，且不超过n。这推广了正则环上模的投射维数有限的性质。