索末菲辐射条件

1. 背景与物理意义
   索末菲辐射条件是数学物理中用于保证波动方程解的唯一性的边界条件，尤其适用于无限域问题（如散射、辐射问题）。在三维波动方程中，若无此条件，解可能包含非物理的“入射波”（能量从无穷远处传入），导致解不唯一。该条件由阿诺德·索末菲于1912年提出，要求波在无穷远处仅向外传播（即满足“辐射行为”），数学上表现为解在无穷远处的渐近衰减与相位约束。

2. 数学表述
   以亥姆霍兹方程为例（即波动方程的频域形式）：

\[ (\nabla^2 + k^2) u(\mathbf{r}) = 0, \quad \mathbf{r} \in \mathbb{R}^3, \]

其中 \(k > 0\) 为波数。索末菲辐射条件要求解 \(u(\mathbf{r})\) 满足：

\[ \lim_{r \to \infty} r \left( \frac{\partial u}{\partial r} - iku \right) = 0, \quad r = |\mathbf{r}|, \]

该条件保证了波在径向方向以 \(e^{ikr}/r\) 的形式向外衰减（对应球面波），且能量流指向无穷远。

3. 与格林函数的关系
   亥姆霍兹方程在自由空间的基本解（格林函数）为：

\[ G(\mathbf{r}, \mathbf{r}') = -\frac{e^{ik|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}}{4\pi |\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}, \]

当 \(|\mathbf{r}| \to \infty\) 时，该函数满足索末菲辐射条件。若使用不满足该条件的格林函数（如 \(e^{-ikr}/r\)），则会导致非物理解。

4. 推广与变体
   • 二维问题：辐射条件修改为

\[ \lim_{r \to \infty} \sqrt{r} \left( \frac{\partial u}{\partial r} - iku \right) = 0, \]

因二维波衰减为 \(e^{ikr}/\sqrt{r}\)。

• 非均匀介质：需结合局部波数调整条件。
• 时域形式：要求解在时间上满足“因果律”，即波前不能超光速传播。

5. 应用实例
   在散射问题中，若入射波为 \(u_{\text{inc}}\)，总场 \(u = u_{\text{inc}} + u_{\text{sc}}\) 需满足：

   • 亥姆霍兹方程在全空间；
   • 物体边界条件（如狄利克雷条件）；
   • 散射场 \(u_{\text{sc}}\) 满足索末菲辐射条件。
     此框架唯一确定了散射场，并保证了远场能量的物理合理性。

6. 与唯一性定理的关联
   数学上可证明：若亥姆霍兹方程的解在无穷远处满足索末菲辐射条件，则解唯一。该定理是解决电磁波散射、声波传播等问题的基础。