模形式的Hecke特征 我们先从模形式的基本概念开始。模形式是复平面上的全纯函数，在某个离散群（如模群SL₂(ℤ)或其同余子群）的作用下具有特定的变换性质。一个权为k、级为N的模形式f(z)满足：对于所有γ = [ a, b; c, d]属于同余子群Γ₀(N)，有f(γz) = (cz + d)ᵏ f(z)，其中z在上半复平面。模形式通常具有傅里叶展开：f(z) = ∑_ {n≥0} a(n) e^{2π i n z}，系数a(n)捕捉了其算术信息。 接下来，我们引入Hecke算子。Hecke算子是作用于模形式空间上的一族线性算子，用于揭示模形式之间的内在结构。对于每个正整数m，Hecke算子T_ m通过平均模形式在模群作用下特定陪集上的取值来定义。具体地，T_ m f(z) = m^{k-1} ∑ {ad=m, 0≤b<d} d^{-k} f((az + b)/d)。关键的是，这些算子保持模形式空间，并且对于互素的m和n，Hecke算子满足交换关系：T_ m T_ n = T {mn}。此外，所有Hecke算子构成一个交换代数，称为Hecke代数。 现在，我们可以定义Hecke特征形式。如果一个模形式f是Hecke代数中所有算子的共同特征函数，即对于每个Hecke算子T_ m，存在特征值λ(m)使得T_ m f = λ(m) f，那么f称为Hecke特征形式。这意味着其傅里叶系数a(n)与Hecke算子的作用紧密相关：具体地，a(m) = λ(m) a(1)。通常我们归一化使得a(1) = 1，从而a(m)直接就是特征值。Hecke特征形式的重要性在于其傅里叶系数具有乘性性质：对于互素的m和n，有a(mn) = a(m) a(n)，并且对于素数p，有a(pᵣ)满足特定的递推关系，如a(pᵣ) = a(p) a(pᵣ⁻¹) - p^{k-1} a(pᵣ⁻²)（当r ≥ 2）。 进一步，Hecke特征形式的L函数具有优美的性质。关联的L函数L(s, f) = ∑ {n≥1} a(n) n^{-s}可以写成欧拉乘积形式：L(s, f) = ∏ {p} (1 - a(p) p^{-s} + p^{k-1-2s})^{-1}，这直接源于系数的乘性。这个L函数可以解析延拓到整个复平面，并满足一个对称的函数方程，这反映了模形式的变换性质。在朗兰兹纲领中，Hecke特征形式对应于GL(2)的自守表示，其L函数与数论中其他对象的L函数（如椭圆曲线的Hasse-Weil L函数）相联系，这为研究算术问题提供了强大工具。 最后，Hecke特征形式在模形式空间中扮演着特殊角色。例如，在权k、级N的尖形式空间（即满足a(0)=0的模形式）中，Hecke特征形式构成一组正交基（在Petersson内积下）。这使得我们可以将任意模形式分解为Hecke特征形式的线性组合，从而简化了对其算术性质的分析。此外，Hecke特征形式的系数往往编码了深刻的算术信息，如拉马努金τ函数（关联于权12、级1的模形式Δ）的系数满足著名的拉马努金猜想，这后来被德利涅证明。