范畴论中的拉回（Pullback）

拉回是范畴论中的一个通用构造，它以一种统一的方式捕捉了不同数学领域中的"纤维积"概念。我们将从熟悉的例子出发，逐步抽象出其范畴论定义，并探讨其核心性质。

第一步：从集合论中的纤维积理解拉回

考虑三个集合 \(X, Y, Z\) 和两个函数：

• \(f: X \to Z\)
• \(g: Y \to Z\)

我们想要构造一个集合 \(P\)，它由所有"配对" \((x, y)\) 组成，其中 \(x \in X\), \(y \in Y\)，并且满足条件 \(f(x) = g(y)\)。也就是说，\(x\) 和 \(y\) 在分别经过 \(f\) 和 \(g\) 映射后，在 \(Z\) 中"相遇"于同一点。

形式上，这个集合 \(P\) 定义为：
\(P = \{ (x, y) \in X \times Y \mid f(x) = g(y) \}\)
这个 \(P\) 被称为 \(f\) 和 \(g\) 在 \(Z\) 上的纤维积。

此外，我们有两个自然的投影映射：

• \(p_X: P \to X\)，定义为 \(p_X(x, y) = x\)
• \(p_Y: P \to Y\)，定义为 \(p_Y(x, y) = y\)

这两个映射满足一个关键等式：\(f \circ p_X = g \circ p_Y\)。这个等式的意思是，无论你先用 \(p_X\) 投影到 \(X\) 再用 \(f\) 映射到 \(Z\)，还是先用 \(p_Y\) 投影到 \(Y\) 再用 \(g\) 映射到 \(Z\)，最终得到的结果是一样的。

第二步：抽象出拉回的范畴论定义

现在，我们将上述集合论中的构造推广到任意范畴 \(\mathcal{C}\) 中。

在一个范畴 \(\mathcal{C}\) 中，给定两个具有相同目标的对象 \(X\) 和 \(Y\)，以及两个态射 \(f: X \to Z\) 和 \(g: Y \to Z\)，它们的拉回（如果存在）由一个对象 \(P\) 和两个态射 \(p_X: P \to X\)， \(p_Y: P \to Y\) 组成，使得下图交换：

          p_X
      P ──────> X
      │         │
    p_Y│         │f
      ↓         ↓
      Y ──────> Z
          g

（交换性即指 \(f \circ p_X = g \circ p_Y\)）

并且，这个构造必须满足以下泛性质：
对于范畴中的任意另一个对象 \(Q\) 以及任意一对态射 \(q_X: Q \to X\) 和 \(q_Y: Q \to Y\)，只要它们满足 \(f \circ q_X = g \circ q_Y\)，那么存在唯一的一个态射 \(u: Q \to P\)，使得 \(q_X = p_X \circ u\) 且 \(q_Y = p_Y \circ u\)。

用图表示这个泛性质就是：

            Q
           / \
       u  /   \ q_X
         /     \
        /  ∃!   \
       /________\
      P ──────> X
      │         │
    p_Y│         │f
      ↓         ↓
      Y ──────> Z
          g

（其中 \(q_X = p_X \circ u\) 和 \(q_Y = p_Y \circ u\)）

这个泛性质保证了拉回 \((P, p_X, p_Y)\) 在某种意义上是最优的（或最通用的）满足 \(f \circ p_X = g \circ p_Y\) 的对象。任何其他满足该条件的对象 \(Q\) 都可以通过唯一的态射 \(u\) "分解"通过 \(P\)。

第三步：拉回的具体例子

1. 集合范畴（Set）：正如第一步所述，拉回就是纤维积 \(P = \{ (x, y) \mid f(x) = g(y) \}\)。

2. 拓扑空间范畴（Top）：拉回对象是纤维积集合 \(P\) 配上子空间拓扑（作为 \(X \times Y\) 的子空间）。投影映射是连续的。

3. 群范畴（Grp）：拉回是群的纤维积。对象 \(P\) 是集合层面的纤维积 \(\{(x,y) \mid f(x)=g(y)\}\)，但其群运算是按分量定义的 \((x_1, y_1) \cdot (x_2, y_2) = (x_1 \cdot x_2, y_1 \cdot y_2)\)。可以验证这是一个群，并且投影是同态。

第四步：拉回的特例与重要性质

1. 拉回作为广义的交集：当态射 \(f: X \to Z\) 和 \(g: Y \to Z\) 是集合的子集包含映射时（即 \(X \subseteq Z, Y \subseteq Z\)），它们的拉回同构于集合的交集 \(X \cap Y\)。这使得拉回成为交集概念在任意范畴中的推广。

2. 拉回平方：定义拉回的交换方形被称为拉回方形或笛卡尔方形。

3. 拉回保持单态射：这是一个非常重要的性质。如果在一个拉回方形中，态射 \(g: Y \to Z\) 是单态射（即"单射"的推广），那么另一个态射 \(p_X: P \to X\) 也一定是单态射。这个性质在代数几何等领域中被频繁使用来证明映射的单射性。

通过这四个步骤，我们从具体的集合构造出发，抽象出拉回的范畴论定义（核心是泛性质），了解了它在不同数学结构中的实例，并认识了其关键性质。拉回是范畴论中一种强大的语言，它统一了众多看似不相关的数学概念。