曲面的法曲率与欧拉公式（续） 1. 法曲率的回顾与深入 在曲面的给定点P，沿某个切方向，法曲率κ_ n度量了曲面在该方向上弯曲的程度。具体来说，它是曲面的法截面（由该切方向和曲面法向量确定的平面与曲面的交线）的曲率。法曲率可正可负，其符号取决于曲面弯曲的方向与所选法向量的相对关系。 2. 法曲率的极值问题 在点P的所有可能切方向中，法曲率κ_ n的值会发生变化。一个基本的几何问题是：法曲率在哪些切方向上取得最大值和最小值？这些极值称为曲面在点P的 主曲率 ，记作κ₁和κ₂（通常约定κ₁ ≥ κ₂）。对应的切方向称为 主方向 。 3. 欧拉公式的引入 欧拉公式揭示了法曲率κ_ n(θ)与主曲率κ₁、κ₂以及方向角θ之间的精确关系。设θ是任意切方向与第一个主方向之间的夹角。则欧拉公式表述为： κ_ n(θ) = κ₁ cos²θ + κ₂ sin²θ 4. 欧拉公式的推导思路 推导基于以下关键步骤： a. 在主方向构成的局部正交坐标系下，曲面的第二基本形式可以化为对角形。 b. 任意切方向可以表示为两个主方向单位向量的线性组合。 c. 将任意方向的第二基本形式与第一基本形式的比值（即法曲率的定义）用主曲率和方向角表示，通过三角恒等式化简即得欧拉公式。 5. 欧拉公式的几何含义 该公式表明： 当θ = 0°时，κ_ n(0°) = κ₁，即沿第一主方向，法曲率达到最大值κ₁。 当θ = 90°时，κ_ n(90°) = κ₂，即沿第二主方向，法曲率达到最小值κ₂。 对于任意方向θ，法曲率是两个主曲率的加权平均，权重为方向角θ的余弦平方和正弦平方。 6. 法曲率的几何表示 如果将每个切方向对应的法曲率用向量表示（方向为切方向，长度为|κ_ n|），这些向量的端点轨迹通常是一个椭圆（当κ₁和κ₂同号）或一对共轭双曲线（当κ₁和κ₂异号）。欧拉公式恰好描述了这个二次曲线的方程。 7. 应用示例：脐点情形 当κ₁ = κ₂时（即点P为脐点），欧拉公式简化为κ_ n(θ) = κ₁。这表明在所有方向上法曲率均相等，曲面在该点附近是球状的。这是欧拉公式的一个特例，直观地显示了脐点的各向同性性质。