二次型的表数问题与模形式的傅里叶系数 二次型的表数问题研究一个整数二次型能够表示哪些整数（即是否存在整数解使二次型等于目标数）。模形式的傅里叶系数可提供该问题的精确公式。 二次型与表数问题 设 \( Q(x_ 1, \dots, x_ k) = \sum_ {1 \le i,j \le k} a_ {ij} x_ i x_ j \) 是一个正定整二次型（\(a_ {ij}\) 为整数）。对正整数 \(n\)，表数 \(r_ Q(n)\) 定义为方程 \(Q(x_ 1, \dots, x_ k) = n\) 的整数解个数。问题核心是研究 \(r_ Q(n)\) 的算术性质。 模形式与Theta级数 将二次型 \(Q\) 与模形式关联的关键工具是 Theta级数 ： \[ \Theta_ Q(z) = \sum_ {x_ 1, \dots, x_ k \in \mathbb{Z}} q^{Q(x_ 1, \dots, x_ k)} = \sum_ {n \ge 0} r_ Q(n) q^n, \quad q = e^{2\pi i z}. \] 当 \(Q\) 正定且偶（即 \(Q\) 对应偶矩阵）时，\(\Theta_ Q(z)\) 是权 \(k/2\)、与某个级 \(N\) 相关的模形式。 模形式空间分解 模形式空间 \(M_ {k/2}(N)\) 可分解为 艾森斯坦级数子空间 和 尖形式子空间 ： \[ \Theta_ Q(z) = E(z) + f(z), \] 其中 \(E(z)\) 是艾森斯坦级数，生成 \(r_ Q(n)\) 的 平均行为 ；\(f(z)\) 是尖形式，反映 \(r_ Q(n)\) 的 波动项 。 傅里叶系数的算术公式 艾森斯坦部分 ：给出 \(r_ Q(n)\) 的主项，通常表示为局部-全局原理的体现，例如： \[ r_ Q(n) \sim \delta_ Q(n) \cdot n^{k/2-1} \quad (\text{忽略常数}) \] 其中 \(\delta_ Q(n)\) 是乘积局部密度（涉及哈塞局部条件）。 尖形式部分 ：若 \(f(z) = \sum_ {n \ge 1} a_ f(n) q^n\)，则 \(r_ Q(n) = \text{主项} + a_ f(n)\)。尖形式系数 \(a_ f(n)\) 通常较小（依Deligne界），但包含精细算术信息（如自守L函数的特殊值）。 示例：平方和问题 四平方和定理对应 \(Q(x_ 1,x_ 2,x_ 3,x_ 4) = x_ 1^2 + x_ 2^2 + x_ 3^2 + x_ 4^2\)，其Theta级数权为2。 雅可比公式：\(r_ Q(n) = 8 \sum_ {d \mid n, 4 \nmid d} d\)，这实际是模形式分解后艾森斯坦部分的显式。 与自守L函数的联系 尖形式 \(f\) 的傅里叶系数 \(a_ f(n)\) 与Hecke L函数 \(L(s, f)\) 关联。表数公式 \(r_ Q(n) = \text{主项} + a_ f(n)\) 可转化为 \(L(s, f)\) 在特殊点的值，进而与BSD猜想或类数公式等算术问题交互。 通过此框架，二次型的表数问题转化为模形式傅里叶系数的分析，融合局部计算、解析数论和自守表示理论。