二次型的正交补空间 我们先从线性空间中的二次型谈起。设 \( V \) 是实数域上的有限维向量空间，\( Q: V \to \mathbb{R} \) 是一个二次型。这意味着存在一个对称双线性型 \( B: V \times V \to \mathbb{R} \)，使得对任意 \( v \in V \)，有 \( Q(v) = B(v, v) \)。例如，在 \( \mathbb{R}^2 \) 上，\( Q(x, y) = x^2 - y^2 \) 是一个二次型，对应的双线性型为 \( B((x_ 1, y_ 1), (x_ 2, y_ 2)) = x_ 1 x_ 2 - y_ 1 y_ 2 \)。 正交补空间的定义 给定一个子空间 \( W \subset V \)，我们可以定义 \( W \) 关于双线性型 \( B \) 的正交补空间为： \[ W^\perp = \{ v \in V \mid B(v, w) = 0 \text{ 对所有 } w \in W \}。 \] 直观上，\( W^\perp \) 由所有与 \( W \) 中每个向量都“正交”的向量组成。注意，这里的“正交”是由 \( B \) 定义的，不一定是标准内积。 非退化情形下的性质 如果 \( B \) 是非退化的（即若 \( B(v, w) = 0 \) 对所有 \( w \in V \) 成立，则 \( v = 0 \)），那么正交补空间具有以下良好性质： \( \dim W + \dim W^\perp = \dim V \)。 \( (W^\perp)^\perp = W \)。 \( V = W \oplus W^\perp \) 当且仅当 \( B \) 在 \( W \) 上的限制也是非退化的。 例如，若 \( V = \mathbb{R}^2 \)，\( B \) 对应标准内积，\( W \) 是 x-轴，则 \( W^\perp \) 是 y-轴，且 \( \mathbb{R}^2 = W \oplus W^\perp \)。 退化情形与修正 当 \( B \) 退化时，上述性质可能不成立。例如，若 \( B \) 恒为零，则 \( W^\perp = V \) 对任何 \( W \) 成立，维数公式失效。此时，我们需要考虑 \( B \) 的根空间（radical）： \[ \operatorname{rad}(B) = \{ v \in V \mid B(v, w) = 0 \text{ 对所有 } w \in V \}。 \] 根空间是 \( V \) 的子空间，且 \( B \) 在商空间 \( V / \operatorname{rad}(B) \) 上诱导一个非退化双线性型。通过研究商空间上的正交补，可以推广许多性质。 在二次型分类中的应用 正交补空间是研究二次型分类的重要工具。例如，若 \( W \) 是 \( V \) 的一个子空间，且 \( B \) 在 \( W \) 上的限制是正定的，则 \( V = W \oplus W^\perp \)，且 \( Q \) 的符号（正、负惯性指数）可以通过分别研究 \( W \) 和 \( W^\perp \) 上的二次型得到。这直接联系到西尔维斯特惯性定理。 与正交对角化的关系 正交补空间的概念也用于构造二次型的正交对角化。通过迭代选取一个向量 \( v \)，考虑其生成的子空间及其正交补，可以在 \( W^\perp \) 上归纳地化简二次型，最终得到一组正交基，使 \( Q \) 在该基下为对角形。 总结来说，正交补空间将二次型的研究分解为更小的子空间问题，尤其在非退化情形下提供了直和分解，是处理二次型结构的基本工具。