模的稳定范畴

字数 2292 2025-11-30 17:09:26

模的稳定范畴

我们先从模范畴的基本概念开始。设 \(R\) 是一个环，\(R\)-模的范畴记作 \(\text{Mod}(R)\)。在这个范畴中，对象是 \(R\)-模，态射是模同态。然而，当我们研究模的某些性质（如投射维数、同调代数）时，我们常常希望“忽略”那些性质良好的模，比如投射模或内射模，从而更聚焦于模的“本质”结构。稳定范畴（Stable Category）正是为此目的而构建的一种商范畴。

第一步：投影态射与稳定范畴的动机

在模范畴 \(\text{Mod}(R)\) 中，投射模是那些具有提升性质的模，例如自由模就是投射模。在许多同调问题中，投射模是“平凡”的，因为它们的内禀性质较为简单。如果我们希望研究模的更深层结构，一个自然的想法是将所有投射模视为零对象，从而得到一个“商”范畴，即稳定范畴。

更精确地说，我们考虑满子范畴 \(\mathcal{P}\) 由所有投射 \(R\)-模组成。稳定范畴 \(\underline{\text{Mod}}(R)\) 的定义如下：

对象：与 \(\text{Mod}(R)\) 相同，即所有 \(R\)-模。
态射：对于任意两个 \(R\)-模 \(M\) 和 \(N\)，定义稳定范畴中的态射集为：

\[ \underline{\text{Hom}}_R(M, N) = \text{Hom}_R(M, N) / \mathcal{P}(M, N) \]

其中 \(\mathcal{P}(M, N)\) 是由那些能通过某个投射模分解的态射组成的子集。具体地，一个态射 \(f: M \to N\) 属于 \(\mathcal{P}(M, N)\) 当且仅当存在一个投射模 \(P\) 和态射 \(p: M \to P\)、\(q: P \to N\)，使得 \(f = q \circ p\)。这些态射称为投影态射（projectively trivial morphisms）。

在商范畴中，我们将投影态射视为零态射。因此，在稳定范畴中，两个态射 \(f, g: M \to N\) 被视作相等当且仅当它们的差 \(f - g\) 是一个投影态射。

第二步：稳定范畴的三角结构

稳定范畴不仅仅是一个加法范畴，它还具有一个重要的三角结构（triangulated structure）。这意味着我们可以定义一类正合三角（exact triangles），它们类似于 Abel 范畴中的短正合序列，但更适合于同调代数。

一个正合三角是一组态射序列：

\[X \xrightarrow{u} Y \xrightarrow{v} Z \xrightarrow{w} \Sigma X \]

其中 \(\Sigma\) 是一个自等价函子，称为平移函子（suspension functor）。在模的稳定范畴中，平移函子 \(\Sigma\) 可以通过取模的第一次合冲（first syzygy）来构造。具体地，对于任意模 \(M\)，选取一个短正合序列：

\[0 \to \Omega M \to P \to M \to 0 \]

其中 \(P\) 是投射模。则定义 \(\Sigma M = \Omega M\)。注意，在稳定范畴中，这个定义是良定的，因为不同的投射预解会给出同构的合冲模。

正合三角满足一系列公理（如 TR1–TR4），这些公理使得稳定范畴成为一个三角范畴。例如，每个态射 \(u: X \to Y\) 可以嵌入到一个正合三角中；正合三角的同构像仍是正合三角；等等。

第三步：稳定范畴的同调函子

在三角范畴中，我们可以定义同调函子（homological functors），它们是将三角范畴映到 Abel 范畴的函子，并将正合三角映成长正合序列。

在模的稳定范畴 \(\underline{\text{Mod}}(R)\) 中，一个典型的同调函子是 Ext 函子。具体地，对于任意模 \(N\)，定义函子：

\[H_N: \underline{\text{Mod}}(R) \to \text{Ab}, \quad H_N(M) = \text{Ext}_R^1(M, N) \]

这个函子将正合三角 \(X \to Y \to Z \to \Sigma X\) 映成长正合序列：

\[\cdots \to \text{Ext}_R^1(Z, N) \to \text{Ext}_R^1(Y, N) \to \text{Ext}_R^1(X, N) \to \text{Ext}_R^2(Z, N) \to \cdots \]

这表明稳定范畴的结构与 Ext 群的自然行为高度一致。

第四步：稳定范畴的应用与推广

稳定范畴在同调代数、表示论和代数几何中有广泛应用。例如：

在有限维代数的表示论中，稳定范畴用于研究模的不可分解性和 AR 三角（Auslander-Reiten triangles）。
在交换代数中，稳定范畴与奇点范畴（singularity category）密切相关，后者是研究环的奇点性质的重要工具。
稳定范畴的概念可以推广到更一般的设置，如微分分次模的稳定范畴、奇点范畴等，这些推广在几何表示论和镜像对称中扮演关键角色。

总之，模的稳定范畴通过“模去”投射模，揭示了模的深层同调性质，其三角结构为研究模的扩展和分解提供了强大框架。

模的稳定范畴我们先从模范畴的基本概念开始。设 \( R \) 是一个环，\( R \)-模的范畴记作 \( \text{Mod}(R) \)。在这个范畴中，对象是 \( R \)-模，态射是模同态。然而，当我们研究模的某些性质（如投射维数、同调代数）时，我们常常希望“忽略”那些性质良好的模，比如投射模或内射模，从而更聚焦于模的“本质”结构。稳定范畴（Stable Category）正是为此目的而构建的一种商范畴。第一步：投影态射与稳定范畴的动机在模范畴 \( \text{Mod}(R) \) 中，投射模是那些具有提升性质的模，例如自由模就是投射模。在许多同调问题中，投射模是“平凡”的，因为它们的内禀性质较为简单。如果我们希望研究模的更深层结构，一个自然的想法是将所有投射模视为零对象，从而得到一个“商”范畴，即稳定范畴。更精确地说，我们考虑满子范畴 \( \mathcal{P} \) 由所有投射 \( R \)-模组成。稳定范畴 \( \underline{\text{Mod}}(R) \) 的定义如下：对象：与 \( \text{Mod}(R) \) 相同，即所有 \( R \)-模。态射：对于任意两个 \( R \)-模 \( M \) 和 \( N \)，定义稳定范畴中的态射集为： \[ \underline{\text{Hom}}_ R(M, N) = \text{Hom}_ R(M, N) / \mathcal{P}(M, N) \] 其中 \( \mathcal{P}(M, N) \) 是由那些能通过某个投射模分解的态射组成的子集。具体地，一个态射 \( f: M \to N \) 属于 \( \mathcal{P}(M, N) \) 当且仅当存在一个投射模 \( P \) 和态射 \( p: M \to P \)、\( q: P \to N \)，使得 \( f = q \circ p \)。这些态射称为投影态射（projectively trivial morphisms）。在商范畴中，我们将投影态射视为零态射。因此，在稳定范畴中，两个态射 \( f, g: M \to N \) 被视作相等当且仅当它们的差 \( f - g \) 是一个投影态射。第二步：稳定范畴的三角结构稳定范畴不仅仅是一个加法范畴，它还具有一个重要的三角结构（triangulated structure）。这意味着我们可以定义一类正合三角（exact triangles），它们类似于 Abel 范畴中的短正合序列，但更适合于同调代数。一个正合三角是一组态射序列： \[ X \xrightarrow{u} Y \xrightarrow{v} Z \xrightarrow{w} \Sigma X \] 其中 \( \Sigma \) 是一个自等价函子，称为平移函子（suspension functor）。在模的稳定范畴中，平移函子 \( \Sigma \) 可以通过取模的第一次合冲（first syzygy）来构造。具体地，对于任意模 \( M \)，选取一个短正合序列： \[ 0 \to \Omega M \to P \to M \to 0 \] 其中 \( P \) 是投射模。则定义 \( \Sigma M = \Omega M \)。注意，在稳定范畴中，这个定义是良定的，因为不同的投射预解会给出同构的合冲模。正合三角满足一系列公理（如 TR1–TR4），这些公理使得稳定范畴成为一个三角范畴。例如，每个态射 \( u: X \to Y \) 可以嵌入到一个正合三角中；正合三角的同构像仍是正合三角；等等。第三步：稳定范畴的同调函子在三角范畴中，我们可以定义同调函子（homological functors），它们是将三角范畴映到 Abel 范畴的函子，并将正合三角映成长正合序列。在模的稳定范畴 \( \underline{\text{Mod}}(R) \) 中，一个典型的同调函子是 Ext 函子。具体地，对于任意模 \( N \)，定义函子： \[ H_ N: \underline{\text{Mod}}(R) \to \text{Ab}, \quad H_ N(M) = \text{Ext}_ R^1(M, N) \] 这个函子将正合三角 \( X \to Y \to Z \to \Sigma X \) 映成长正合序列： \[ \cdots \to \text{Ext}_ R^1(Z, N) \to \text{Ext}_ R^1(Y, N) \to \text{Ext}_ R^1(X, N) \to \text{Ext}_ R^2(Z, N) \to \cdots \] 这表明稳定范畴的结构与 Ext 群的自然行为高度一致。第四步：稳定范畴的应用与推广稳定范畴在同调代数、表示论和代数几何中有广泛应用。例如：在有限维代数的表示论中，稳定范畴用于研究模的不可分解性和 AR 三角（Auslander-Reiten triangles）。在交换代数中，稳定范畴与奇点范畴（singularity category）密切相关，后者是研究环的奇点性质的重要工具。稳定范畴的概念可以推广到更一般的设置，如微分分次模的稳定范畴、奇点范畴等，这些推广在几何表示论和镜像对称中扮演关键角色。总之，模的稳定范畴通过“模去”投射模，揭示了模的深层同调性质，其三角结构为研究模的扩展和分解提供了强大框架。