遍历理论中的非均匀双曲系统的稳定流形定理

1. 非均匀双曲系统的定义
   非均匀双曲系统是双曲动力系统的推广，其特点是双曲性（即存在拉伸和收缩方向）在相空间中非均匀分布。具体而言，系统在不变集Λ上满足：

   • 对每个点x∈Λ，切空间可分解为不稳定子空间Eᵘ(x)和稳定子空间Eˢ(x)，即TₓM = Eˢ(x) ⊕ Eᵘ(x)。
   • 存在常数λ>0和可测函数C(x)>0，使得对任意n≥0，有：
     ‖Dfⁿ(x)v‖ ≤ C(x)e^{-λn}‖v‖, ∀v∈Eˢ(x)（稳定方向指数收缩）；
     ‖Df⁻ⁿ(x)v‖ ≤ C(x)e^{-λn}‖v‖, ∀v∈Eᵘ(x)（不稳定方向指数扩张）。
     与一致双曲系统不同，这里的常数C(x)可能无界，导致双曲性的强度随点变化。

2. 稳定流形的局部存在性
   对于非均匀双曲系统中的点x，存在局部稳定流形Wˢₗₒ𝒸(x)，它是经过x的光滑子流形，满足：

   • 切空间TₓWˢₗₒ𝒸(x) = Eˢ(x)；
   • 流形在f迭代下局部不变：f(Wˢₗₒ𝒸(x)) ⊆ Wˢₗₒ𝒸(f(x))；
   • 点y∈Wˢₗₒ𝒸(x)与x的距离以指数速度收缩：d(fⁿ(x), fⁿ(y)) ≤ C(x)e^{-λn}d(x,y)。
     关键难点在于处理非均匀性：流形的大小依赖于x，且可能随迭代衰减（如Pesin理论中通过Lyapunov度量调整尺度）。

3. 绝对连续叶状结构
   若系统具有非零Lyapunov指数且满足一定的可测性条件（如Oseledets正则性），则稳定流形族构成绝对连续叶状结构。这意味着：

   • 相空间的体积（或不变测度）沿稳定流形横截方向具有绝对连续性；
   • 对于横截于稳定流形的局部子流形，其上的测度与稳定流形的holonomy映射（将不同流形上的点沿稳定方向连接）互绝对连续。
     这一性质是证明遍历性（如Hopf分歧法）和统计性质（如Sinai-Ruelle-Bowen测度存在性）的核心工具。

4. 与非一致双曲系统的区别
   非均匀双曲系统常与非一致双曲系统交叉使用，但细微差别在于：

   • 非均匀双曲更强调双曲性的空间变化，可能通过技术（如Lyapunov度量）转化为一致双曲；
   • 非一致双曲则侧重Lyapunov指数的可测性而非均匀性，通常要求指数非零且Oseledets分解成立。
     稳定流形定理在两类系统中均成立，但证明需处理函数C(x)的增长控制（如Pesin理论中的正则化技巧）。

5. 应用：SRB测度与衰减关联
   稳定流形定理使得在非均匀双曲系统中定义SRB测度成为可能：

   • SRB测度沿不稳定流形绝对连续，其存在性依赖于稳定流形的绝对连续性；
   • 通过稳定流形的几何结构，可证明关联函数的指数衰减（如Dolgopyat估计），进而推导中心极限定理等统计规律。
     这一框架适用于部分双曲系统或具有非均匀扩张的物理模型（如洛伦兹吸引子）。