随机规划中的序贯决策与分布式随机拟牛顿法

1. 基础概念回顾
   随机规划处理含随机变量的优化问题，序贯决策指决策者根据逐步观测到的信息动态调整策略。分布式优化则通过多个计算单元并行求解问题。随机拟牛顿法是拟牛顿法（利用近似Hessian矩阵加速收敛）的随机版本，适用于大规模随机优化。

2. 序贯决策中的挑战
   在多阶段随机规划中，传统拟牛顿法需计算全量梯度与Hessian矩阵，但随机场景下数据可能分布式存储或顺序到达，导致以下问题：

   • 计算瓶颈：全局Hessian矩阵的存储和更新成本高；
   • 信息延迟：分布式单元间的通信开销限制效率；
   • 噪声敏感：随机梯度估计的方差影响Hessian近似精度。

3. 分布式随机拟牛顿法的核心思想
   将拟牛顿法的更新过程分布到多个计算节点，并引入随机梯度以降低单步计算量。关键设计包括：

   • 局部Hessian近似：每个节点维护局部问题的Hessian近似矩阵（如BFGS或L-BFGS），避免全局通信；
   • 梯度聚合：通过周期性同步局部梯度，确保方向一致性；
   • 方差缩减技术：如SVRG或SAGA，控制随机梯度的噪声，提高Hessian近似稳定性。

4. 算法步骤（以分布式L-BFGS为例）

   • 步骤1：每个节点基于本地数据计算随机梯度，并更新局部变量；
   • 步骤2：定期与其他节点交换梯度信息，计算全局梯度估计；
   • 步骤3：用局部梯度差和变量差更新逆Hessian近似（L-BFGS的两循环递归）；
   • 步骤4：结合全局梯度与局部Hessian近似生成搜索方向，迭代至收敛。

5. 收敛性保障
   在凸问题中，该算法需满足：

   • 步长衰减：采用递减步长（如\(O(1/k)\)）平衡探索与收敛；
   • 有界方差：随机梯度的方差需有上界；
   • 通信频率：节点间同步频率需足够高以避免局部偏差累积。

6. 应用场景
   适用于分布式机器学习、电力系统调度等场景。例如，在多区域电网中，各分区根据本地负荷随机性调整发电计划，通过分布式拟牛顿法快速协调全局最优调度。

7. 扩展与变体

   • 异步版本：允许节点非同步更新，容忍通信延迟；
   • 非凸适应：通过正则化Hessian近似处理非凸问题；
   • 在线学习：结合在线镜像下降法，适应动态环境。