可测函数序列的等度可积性与一致可积性的关系

1. 基本定义回顾

• 可测函数序列：设\((X, \mathcal{F}, \mu)\)为测度空间，\(\{f_n\}\)是一列可测函数，每个\(f_n: X \to \mathbb{R}\)（或\(\mathbb{C}\)）满足可测性条件。
• 一致可积性：序列\(\{f_n\}\)称为一致可积的，如果对任意\(\varepsilon > 0\)，存在\(\delta > 0\)，使得对任意可测集\(A\)满足\(\mu(A) < \delta\)，有\(\sup_n \int_A |f_n| d\mu < \varepsilon\)。等价地，\(\lim_{M \to \infty} \sup_n \int_{\{|f_n| > M\}} |f_n| d\mu = 0\)。
• 等度可积性：在实变函数中，等度可积性通常与一致可积性同义，但需注意文献中可能的细微差异。本文采用上述一致可积性的定义作为等度可积性的标准含义。

2. 一致可积性的等价刻画
一致可积性可通过以下条件等价描述：

• （积分一致绝对连续）对任意\(\varepsilon > 0\)，存在\(\delta > 0\)，使对任意\(A\)满足\(\mu(A) < \delta\)，有\(\sup_n \int_A |f_n| d\mu < \varepsilon\)。
• （尾部一致小）\(\lim_{M \to \infty} \sup_n \int_{\{|f_n| > M\}} |f_n| d\mu = 0\)。
• （一致\(L^1\)有界且尾部控制）若\(\sup_n \int_X |f_n| d\mu < \infty\)，且对任意\(\varepsilon > 0\)，存在\(M > 0\)使\(\sup_n \int_{\{|f_n| > M\}} |f_n| d\mu < \varepsilon\)。

3. 与收敛性的关键关系

• 维塔利收敛定理：若\(\mu(X) < \infty\)，\(\{f_n\}\)一致可积且\(f_n \to f\)几乎处处（或依测度），则\(f \in L^1\)，且\(f_n \to f\)在\(L^1\)中收敛。反之，若\(f_n \to f\)在\(L^1\)中，则\(\{f_n\}\)一致可积。
• 必要性：\(L^1\)收敛蕴含一致可积性，可通过三角不等式和绝对连续性直接证明。
• 充分性：在有限测度空间下，几乎处处收敛（或依测度收敛）加上一致可积性可推出\(L^1\)收敛，证明需用法图引理和尾部估计。

4. 与等度可测性的区别

• 等度可测性：强调函数值在测度意义上的集中性（如叶戈罗夫定理相关），关注函数值分布的一致性。
• 等度可积性：关注积分行为的一致性，尤其是大值部分的积分控制。两者在有限测度空间可能通过截断技术关联，但等度可积性要求更强的积分条件。

5. 推广与反例

• 无穷测度空间：一致可积性在\(\mu(X) = \infty\)时仍定义，但\(L^1\)收敛需额外假设（如紧支集一致衰减）。反例：\(f_n = \frac{1}{n} \chi_{[0,n]}\)在\(\mathbb{R}\)上一致可积，但\(L^1\)收敛于0不成立。
• 非绝对连续测度：若测度含原子部分，一致可积性需调整定义以适应奇异性。

6. 应用场景

• 在概率论中，一致可积性用于导出均方收敛或条件期望的收敛。
• 在偏微分方程中，证明解序列的强收敛性时，常用等度可积性提取\(L^1\)紧性。
• 与邓福德-佩蒂斯定理结合，刻画\(L^1\)空间的弱紧子集。