模的Gorenstein内射维数 我们先从模的内射维数开始。设 \( R \) 是一个环，\( M \) 是一个 \( R \)-模。模 \( M \) 的内射维数，记作 \( \text{id}_ R(M) \)，定义为满足以下条件的最小非负整数 \( n \)：存在一个内射分解 \[ 0 \to M \to I^0 \to I^1 \to \cdots \to I^n \to 0, \] 其中每个 \( I^i \) 是内射模。如果不存在这样的有限内射分解，则内射维数为无穷大。 接下来，我们引入 Gorenstein 内射模的概念。一个 \( R \)-模 \( G \) 称为 Gorenstein 内射模，如果存在一个内射模的正合序列 \[ \cdots \to E_ 1 \to E_ 0 \to E^0 \to E^1 \to \cdots, \] 使得 \( G \cong \text{ker}(E^0 \to E^1) \)，并且对任意内射模 \( I \)，函子 \( \text{Hom}_ R(I, -) \) 保持该序列的正合性。直观上，Gorenstein 内射模可以看作是“无限内射模”的循环核，具有类似于内射模的同调性质，但结构更灵活。 现在，我们可以定义模的 Gorenstein 内射维数。模 \( M \) 的 Gorenstein 内射维数，记作 \( \text{Gid}_ R(M) \)，定义为满足以下条件的最小非负整数 \( n \)：存在一个正合序列 \[ 0 \to M \to G^0 \to G^1 \to \cdots \to G^n \to 0, \] 其中每个 \( G^i \) 是 Gorenstein 内射模。如果不存在这样的有限分解，则 Gorenstein 内射维数为无穷大。 Gorenstein 内射维数是内射维数的一种推广。当环 \( R \) 是诺特环时，Gorenstein 内射维数具有优良的同调性质。例如，它可以通过 Ext 函子来刻画：\( \text{Gid}_ R(M) \leq n \) 当且仅当对任意内射模 \( I \)，有 \( \text{Ext}_ R^{n+1}(I, M) = 0 \)，并且对某个内射模 \( I \)，有 \( \text{Ext}_ R^n(I, M) \neq 0 \)。 Gorenstein 内射维数在模论和同调代数中非常重要，特别是在研究非正则环上的模时，它提供了比传统内射维数更精细的度量工具。例如，在 Gorenstein 环上，所有模的 Gorenstein 内射维数都是有限的，这推广了正则环上内射维数有限的性质。