径向基函数配点法

1. 基本概念：从函数逼近到偏微分方程求解

   • 径向基函数配点法是一种无网格数值方法，其核心思想是利用径向基函数的线性组合来逼近偏微分方程的解。
   • 与传统的网格依赖方法（如有限元法）不同，该方法仅需在计算域内分布一组离散节点（配点），无需节点间的连接信息。
   • 关键步骤包括：
     1. 选择正定或条件正定的径向基函数（如高斯函数、多调和样条）；

2. 将解表示为径向基函数的加权和：\(u(\mathbf{x}) \approx \sum_{j=1}^{N} \lambda_j \phi(\|\mathbf{x} - \mathbf{x}_j\|)\)；
   3. 在配点上强制满足偏微分方程及边界条件，形成线性方程组。

3. 技术细节：配点策略与矩阵构造

   • 配点类型：

• 内部配点：强制满足偏微分方程 \(\mathcal{L}u = f\)；
• 边界配点：强制满足边界条件（如狄利克雷条件 \(u = g\) 或诺伊曼条件 \(\partial u/\partial n = h\)）。
  • 矩阵组装：对每个配点 \(\mathbf{x}_i\)，将近似解代入方程，生成形如 \(A\boldsymbol{\lambda} = \mathbf{b}\) 的稠密线性系统，其中矩阵 \(A\) 的元素为 \(\mathcal{L}\phi(\|\mathbf{x}_i - \mathbf{x}_j\|)\)。

3. 处理奇异性与边界精度：正则化与局部化改进
   • 全局配点法可能因矩阵病态导致数值不稳定，尤其当节点密集时。解决方案包括：

• 正则化技术：添加小参数扰动矩阵（如 \(A + \mu I\)）以改善条件数；
  • 局部配点法：仅用邻近节点构造局部近似，生成稀疏矩阵，提升计算效率；
  • 边界处理优化：在边界附近加密节点或使用Hermite型配点，增强边界条件精度。

4. 应用扩展：时变问题与复杂几何

   • 对于时间相关偏微分方程（如热方程），可结合时间离散方法（如欧拉法、龙格-库塔法），在每个时间步求解径向基函数配点系统。
   • 优势体现在复杂几何域（如不规则外形、高维空间）的适应性，无需网格生成，仅依赖节点分布。

5. 局限性与发展方向

   • 缺点包括稠密矩阵的计算成本高、形状参数选择敏感（如高斯函数的支撑半径）；
   • 当前研究聚焦于快速算法（如快速多极法加速矩阵求解）、自适应节点分布策略，以及与其他无网格方法的混合技术。