模的Gorenstein平坦模 我们先从模的平坦性概念开始。设 \(R\) 是一个环，一个左 \(R\)-模 \(F\) 称为平坦模，如果函子 \(-\otimes_ R F\) 是正合的，即对任意正合序列 \(0 \to A \to B \to C \to 0\)，张量积后序列 \(0 \to A \otimes_ R F \to B \otimes_ R F \to C \otimes_ R F \to 0\) 仍正合。平坦模是投射模的推广，但结构更灵活，例如在非诺特环上，平坦模未必是投射模。 接下来，我们考虑模的Gorenstein性质。一个左 \(R\)-模 \(M\) 称为Gorenstein投射模，如果存在一个投射模的长正合序列 \(\mathbf{P}^\bullet = \cdots \to P_ 1 \to P_ 0 \to P^{-1} \to \cdots\)，使得 \(M \cong \operatorname{Im}(P_ 0 \to P_ {-1})\)，且对任意投射模 \(Q\)，函子 \(\operatorname{Hom}_ R(-, Q)\) 作用于 \(\mathbf{P}^\bullet\) 后仍正合。类似地，Gorenstein内射模可通过内射模的长正合序列定义。 现在，我们引入Gorenstein平坦模。一个左 \(R\)-模 \(M\) 称为Gorenstein平坦模，如果存在一个平坦模的长正合序列 \(\mathbf{F}^\bullet = \cdots \to F_ 1 \to F_ 0 \to F_ {-1} \to \cdots\)，使得 \(M \cong \operatorname{Im}(F_ 0 \to F_ {-1})\)，且对任意内射右 \(R\)-模 \(I\)，函子 \(I \otimes_ R -\) 作用于 \(\mathbf{F}^\bullet\) 后仍正合。这个条件确保了与内射模的张量积操作不破坏序列的正合性，是平坦性的某种"同调对偶"形式。 Gorenstein平坦模的重要性在于它们推广了平坦模，同时在Gorenstein环（一种同调维数有限的诺特环）上具有优良性质。例如，若 \(R\) 是Gorenstein环，则所有模都有有限的Gorenstein平坦维数，且Gorenstein平坦模类在对扩张和直和项封闭下形成一个Frobenius范畴。此外，Gorenstein平坦模与Tate上同调有深刻联系，常用于研究环的奇点性质和模的稳定范畴。