量子力学中的Mellin变换 1. 基础概念引入 Mellin变换是积分变换的一种，定义在正实轴上的函数 \( f(x) \) 的Mellin变换为： \[ \mathcal{M} f = \int_ 0^\infty x^{s-1} f(x) \, dx, \] 其中 \( s \) 是复参数。它与傅里叶变换和拉普拉斯变换密切相关，但更适用于处理具有幂律行为的函数。在量子力学中，Mellin变换常用于分析格林函数、谱密度及路径积分中的标度行为。 2. 数学性质与反演公式 Mellin变换的反演公式为： \[ f(x) = \frac{1}{2\pi i} \int_ {c-i\infty}^{c+i\infty} x^{-s} \mathcal{M} f \, ds, \] 其中积分路径在收敛域内垂直移动。其性质包括： 标度不变性 ：若 \( g(x) = x^a f(x) \)，则 \( \mathcal{M} g = \mathcal{M} f \)。 卷积定理 ：对于乘法卷积 \( (f * g)(x) = \int_ 0^\infty f(y) g(x/y) \, \frac{dy}{y} \)，有 \( \mathcal{M} f * g = \mathcal{M} f \mathcal{M} g \)。 3. 量子力学中的典型应用场景 格林函数的幂律分析 ：在临界系统（如相变点）中，格林函数常表现为 \( G(x) \sim x^{-\Delta} \)。通过Mellin变换可提取标度维数 \( \Delta \) 并关联到算符乘积展开。 路径积分的泛函行列式 ：计算泛函行列式时，Mellin变换可将算子谱的ζ函数（如热核展开）与行列式关联，例如通过 \( \det A = \exp(-\zeta_ A'(0)) \)，其中 \( \zeta_ A(s) = \sum_ n \lambda_ n^{-s} \) 的解析延拓依赖Mellin技巧。 4. 与重正化群的关联 在重正化群（RG）流动中，Mellin变换用于分析耦合常数的标度行为。例如，在Callan-Symanzik方程中，β函数的积分表示可通过Mellin变换将微扰级数转换为复平面上的极点结构，揭示不动点的普适性类。 5. 扩展应用：非相对论性系统的束缚态问题 对于幂律势 \( V(r) \sim r^\alpha \)，薛定谔方程的束缚态能级可通过Mellin变换将微分方程转换为复平面上的代数方程，进而利用极点位置计算能级渐近行为（例如WKB近似的高阶修正）。