随机变量的变换的Hilbert空间嵌入方法
字数 2413 2025-11-30 09:30:45

随机变量的变换的Hilbert空间嵌入方法

我们将循序渐进地学习随机变量的变换的Hilbert空间嵌入方法。这个方法的核心思想是，将概率分布本身映射到高维的、可能是无限维的再生核希尔伯特空间（RKHS）中的点，从而可以利用该空间中的线性几何工具（如内积、距离）来研究概率分布及其变换。

第一步：理解希尔伯特空间（Hilbert Space）的基本要素

  1. 向量空间：首先，想象一个我们熟悉的三维空间。空间中的每个点都可以用一个向量（例如，坐标 (x, y, z)）来表示。这个空间是线性的，意味着我们可以对向量进行加法和数乘运算。希尔伯特空间是这种概念向无限维的推广。它也是一个完备的向量空间，允许我们进行极限操作。
  2. 内积：在三维空间中，我们可以定义两个向量的点积（内积）。点积衡量了两个向量的“相似度”或“对齐程度”。在希尔伯特空间 H 中，我们也为空间中的任意两个元素 f 和 g 定义一个内积 <f, g>。这个内积必须满足对称性、线性性和正定性。
  3. 范数与距离：由内积可以诱导出范数（类似于向量的长度）：||f|| = sqrt(<f, f>)。进而，我们可以定义两个元素之间的距离：d(f, g) = ||f - g||。这使得希尔伯特空间成为一个度量空间，我们可以谈论点与点之间的接近程度。

第二步：引入再生核希尔伯特空间（RKHS）

  1. 核心概念：再生核希尔伯特空间是一种特殊的希尔伯特空间，其元素是函数。它的“再生”特性在于，空间中的每个点值求值函数（即函数 f 在某个点 x 的取值 f(x)）本身也是一个连续线性泛函。
  2. 再生核：存在一个称为“核函数”的二元函数 k(x, y)，它具有两个关键性质：
    • 对于每个固定的 y，函数 k(·, y) 属于这个RKHS。
    • 再生性：对于该RKHS中的任意函数 f 和任意点 x，都有 <f, k(·, x)> = f(x)。这就像用核函数 k(·, x) 作为“探针”，通过内积的方式“再生”出了函数 f 在 x 点的值。
  3. 常见例子：高斯核 k(x, y) = exp(-||x - y||² / (2σ²)) 是一个常用的核，它对应一个无限维的RKHS。

第三步：将概率分布嵌入到RKHS中——核均值嵌入

  1. 核心思想：现在，我们有一个随机变量 X，其概率分布为 P。Hilbert空间嵌入方法的目标是将这个分布 P 映射到RKHS H 中的一个点。
  2. 映射方法：这个映射是通过概率分布 P 在RKHS中的“均值”或“期望”来定义的。具体来说，分布 P 的核均值嵌入 μₚ 定义为：
    μₚ = 𝔼ₓ [k(·, X)] = ∫ k(·, x) dP(x)
  3. 直观理解：
    • 我们将随机变量 X 的每个可能取值 x，通过核函数 k(·, x) 映射到RKHS中的一个点。
    • 然后，我们对所有这些点（对应所有可能的 x）按照其概率 P 进行加权平均。
    • 最终得到的 μₚ 就是整个概率分布 P 在RKHS中的“代表点”或“中心”。
  4. 关键特性：如果核函数 k 是“特征核”，那么这个嵌入是单射的。这意味着，如果两个分布 P 和 Q 被嵌入到同一个点（μₚ = μ_Q），那么它们必定是相同的分布（P = Q）。这保证了我们通过研究RKHS中的点 μₚ，就能唯一地确定分布 P 本身。

第四步：定义分布之间的距离——最大均值差异（MMD）

  1. 问题：既然分布被映射成了RKHS中的点，我们如何度量两个分布 P 和 Q 之间的差异？
  2. 定义：很自然地，我们可以使用这两个点 μₚ 和 μ_Q 在RKHS中的距离。这个距离被称为最大均值差异（MMD）：
    MMD²(P, Q) = ||μₚ - μ_Q||²
  3. 计算式：利用内积的性质，我们可以将上述范数的平方展开：
    MMD²(P, Q) = <μₚ, μₚ> + <μ_Q, μ_Q> - 2<μₚ, μ_Q>
    进一步，根据 μₚ 的定义，我们可以将其表示为核函数的期望：
    MMD²(P, Q) = 𝔼ₓₓ‘ [k(X, X’)] + 𝔼_YY‘ [k(Y, Y’)] - 2𝔼_XY [k(X, Y)]
    这里 X, X’ 独立同分布于 P，Y, Y‘ 独立同分布于 Q。
  4. 意义：MMD为比较两个分布提供了一个强大且易于计算的工具，特别是在高维空间。

第五步：应用于随机变量的变换

  1. 场景：假设我们有一个随机变量 X，以及一个变换（函数）Y = g(X)。变换后的变量 Y 有一个新的分布，记为 P_Y。
  2. 嵌入变换后的分布：我们可以将变换后的分布 P_Y 嵌入到同一个RKHS中，得到其核均值嵌入 μ_{P_Y} = 𝔼_Y [k(·, Y)]。
  3. 分析变换的效果：通过比较原始分布 P_X 的嵌入 μ_{P_X} 和变换后分布 P_Y 的嵌入 μ_{P_Y}，我们可以量化变换 g 对分布形状的影响。例如，计算 MMD(P_X, P_Y) 可以衡量变换 g 在多大程度上“扭曲”了原始分布。
  4. 在机器学习中的应用：此方法在机器学习中非常有用。例如，在独立成分分析（ICA）或公平机器学习中，我们希望找到一个变换 g，使得变换后的变量 Y 的分布满足某种特性（如分量独立，或与某个敏感属性无关）。我们可以将目标特性表述为对 μ_{P_Y} 的约束，然后通过优化算法来寻找满足约束的变换 g。

总结来说，Hilbert空间嵌入方法为我们提供了一套强大的“几何语言”来谈论和分析概率分布及其变换，将复杂的概率问题转化为更直观的希尔伯特空间中的几何问题。

随机变量的变换的Hilbert空间嵌入方法 我们将循序渐进地学习随机变量的变换的Hilbert空间嵌入方法。这个方法的核心思想是，将概率分布本身映射到高维的、可能是无限维的再生核希尔伯特空间（RKHS）中的点，从而可以利用该空间中的线性几何工具（如内积、距离）来研究概率分布及其变换。 第一步：理解希尔伯特空间（Hilbert Space）的基本要素 向量空间 ：首先，想象一个我们熟悉的三维空间。空间中的每个点都可以用一个向量（例如，坐标 (x, y, z)）来表示。这个空间是线性的，意味着我们可以对向量进行加法和数乘运算。希尔伯特空间是这种概念向无限维的推广。它也是一个完备的向量空间，允许我们进行极限操作。 内积 ：在三维空间中，我们可以定义两个向量的点积（内积）。点积衡量了两个向量的“相似度”或“对齐程度”。在希尔伯特空间 H 中，我们也为空间中的任意两个元素 f 和 g 定义一个内积 <f, g> 。这个内积必须满足对称性、线性性和正定性。 范数与距离 ：由内积可以诱导出范数（类似于向量的长度）： ||f|| = sqrt(<f, f>) 。进而，我们可以定义两个元素之间的距离： d(f, g) = ||f - g|| 。这使得希尔伯特空间成为一个度量空间，我们可以谈论点与点之间的接近程度。 第二步：引入再生核希尔伯特空间（RKHS） 核心概念 ：再生核希尔伯特空间是一种特殊的希尔伯特空间，其元素是函数。它的“再生”特性在于，空间中的每个点值求值函数（即函数 f 在某个点 x 的取值 f(x) ）本身也是一个连续线性泛函。 再生核 ：存在一个称为“核函数”的二元函数 k(x, y) ，它具有两个关键性质： 对于每个固定的 y ，函数 k(·, y) 属于这个RKHS 。 再生性 ：对于该RKHS中的任意函数 f 和任意点 x ，都有 <f, k(·, x)> = f(x) 。这就像用核函数 k(·, x) 作为“探针”，通过内积的方式“再生”出了函数 f 在 x 点的值。 常见例子 ：高斯核 k(x, y) = exp(-||x - y||² / (2σ²)) 是一个常用的核，它对应一个无限维的RKHS。 第三步：将概率分布嵌入到RKHS中——核均值嵌入 核心思想 ：现在，我们有一个随机变量 X ，其概率分布为 P 。Hilbert空间嵌入方法的目标是将这个分布 P 映射到RKHS H 中的一个点。 映射方法 ：这个映射是通过概率分布 P 在RKHS中的“均值”或“期望”来定义的。具体来说，分布 P 的核均值嵌入 μₚ 定义为： μₚ = 𝔼ₓ [k(·, X)] = ∫ k(·, x) dP(x) 直观理解 ： 我们将随机变量 X 的每个可能取值 x ，通过核函数 k(·, x) 映射到RKHS中的一个点。 然后，我们对所有这些点（对应所有可能的 x ）按照其概率 P 进行加权平均。 最终得到的 μₚ 就是整个概率分布 P 在RKHS中的“代表点”或“中心”。 关键特性 ：如果核函数 k 是“特征核”，那么这个嵌入是单射的。这意味着，如果两个分布 P 和 Q 被嵌入到同一个点（ μₚ = μ_Q ），那么它们必定是相同的分布（ P = Q ）。这保证了我们通过研究RKHS中的点 μₚ ，就能唯一地确定分布 P 本身。 第四步：定义分布之间的距离——最大均值差异（MMD） 问题 ：既然分布被映射成了RKHS中的点，我们如何度量两个分布 P 和 Q 之间的差异？ 定义 ：很自然地，我们可以使用这两个点 μₚ 和 μ_Q 在RKHS中的距离。这个距离被称为最大均值差异（MMD）： MMD²(P, Q) = ||μₚ - μ_Q||² 计算式 ：利用内积的性质，我们可以将上述范数的平方展开： MMD²(P, Q) = <μₚ, μₚ> + <μ_Q, μ_Q> - 2<μₚ, μ_Q> 进一步，根据 μₚ 的定义，我们可以将其表示为核函数的期望： MMD²(P, Q) = 𝔼ₓₓ‘ [k(X, X’)] + 𝔼_YY‘ [k(Y, Y’)] - 2𝔼_XY [k(X, Y)] 这里 X, X’ 独立同分布于 P ， Y, Y‘ 独立同分布于 Q 。 意义 ：MMD为比较两个分布提供了一个强大且易于计算的工具，特别是在高维空间。 第五步：应用于随机变量的变换 场景 ：假设我们有一个随机变量 X ，以及一个变换（函数） Y = g(X) 。变换后的变量 Y 有一个新的分布，记为 P_Y 。 嵌入变换后的分布 ：我们可以将变换后的分布 P_Y 嵌入到同一个RKHS中，得到其核均值嵌入 μ_{P_Y} = 𝔼_Y [k(·, Y)] 。 分析变换的效果 ：通过比较原始分布 P_X 的嵌入 μ_{P_X} 和变换后分布 P_Y 的嵌入 μ_{P_Y} ，我们可以量化变换 g 对分布形状的影响。例如，计算 MMD(P_X, P_Y) 可以衡量变换 g 在多大程度上“扭曲”了原始分布。 在机器学习中的应用 ：此方法在机器学习中非常有用。例如，在独立成分分析（ICA）或公平机器学习中，我们希望找到一个变换 g ，使得变换后的变量 Y 的分布满足某种特性（如分量独立，或与某个敏感属性无关）。我们可以将目标特性表述为对 μ_{P_Y} 的约束，然后通过优化算法来寻找满足约束的变换 g 。 总结来说，Hilbert空间嵌入方法为我们提供了一套强大的“几何语言”来谈论和分析概率分布及其变换，将复杂的概率问题转化为更直观的希尔伯特空间中的几何问题。