模的Gorenstein投射模 第一步：回顾投射模 在模论中，投射模是自由模的推广：若模 \(P\) 满足对任意满同态 \(f: M \to N\) 和同态 \(g: P \to N\)，存在同态 \(h: P \to M\) 使得 \(g = f \circ h\)，则称 \(P\) 为投射模。等价地，\(P\) 是投射模当且仅当它是一些自由模的直和项。 第二步：引入同调维数 模 \(M\) 的投射维数（projective dimension）衡量 \(M\) 离投射模有多远。若存在投射分解 \(0 \to P_ n \to \cdots \to P_ 0 \to M \to 0\)，则投射维数为 \(n\)；若不存在有限分解，则维数为无穷。环 \(R\) 的整体维数是所有 \(R\)-模投射维数的上确界。 第三步：Gorenstein环的背景 Gorenstein环是一类具有良好同调性质的环（如诺特环且其内射维数有限）。在Gorenstein环上，投射模与内射模的关系更对称。为研究非投射模的同调性质，需要推广投射模的概念。 第四步：定义Gorenstein投射模 模 \(G\) 称为Gorenstein投射模，若存在长正合序列 \[ \cdots \to P_ 1 \to P_ 0 \to P^0 \to P^1 \to \cdots \] 其中每个 \(P_ i, P^j\) 均为投射模，且 \(G = \operatorname{Im}(P_ 0 \to P^0)\)。等价地，\(G\) 满足： \(\operatorname{Ext}^i(G, P) = 0\) 对所有投射模 \(P\) 和 \(i \geq 1\) 成立； 存在短正合序列 \(0 \to G \to P \to G' \to 0\)，其中 \(P\) 投射且 \(G'\) 也是Gorenstein投射模。 第五步：性质与例子 所有投射模都是Gorenstein投射模，但反之不成立（例如，在Gorenstein环上，所有模的Gorenstein投射维数有限）。 若 \(R\) 是Gorenstein环，则Gorenstein投射模类对直和、直和项、核与扩张封闭。 典型例子：在 \(R = k[ x ]/(x^2)\)（\(k\) 为域）上，非自由模 \(R/(x)\) 是Gorenstein投射模，因为其极小投射分解周期为2。 第六步：应用与推广 Gorenstein投射模用于研究Gorenstein同调维数，简化模的分类问题。进一步可定义Gorenstein内射模与Gorenstein平坦模，形成Gorenstein同调代数理论，应用于代数几何与表示论中（如奇点范畴的构造）。