数学中“切比雪夫多项式”的发现与演进 切比雪夫多项式是数学分析、逼近论及计算数学中一类重要的正交多项式。它的发现与发展，紧密联系着函数逼近、数值积分和微分方程求解等核心数学问题。下面我们循序渐进地探讨其历史脉络。 第一步：问题起源——函数逼近的早期探索 在19世纪中期，数学分析日益严格化，工程师和数学家们面临一个实际问题：如何用简单的函数（如多项式）来有效地逼近复杂的函数？特别是对于在区间上定义的函数，是否存在“最优”的多项式逼近？此前，拉格朗日、傅里叶等人已经研究了插值与三角级数逼近，但关于多项式逼近在一致范数（即最大误差）意义下的最优性理论尚未建立。这个问题吸引了俄国数学家帕夫努季·切比雪夫（Pafnuty Chebyshev）。 第二步：切比雪夫的突破性工作——最小偏差多项式 1850年代，切比雪夫开始系统研究多项式逼近理论。他提出了一个核心问题：在所有n次首一多项式（即最高次项系数为1的多项式）中，寻找一个在区间[ -1, 1 ]上与零的偏差最小的多项式。这里的“偏差”是指多项式在区间上绝对值的最大值。切比雪夫证明，这个最优多项式就是： \[ T_ n(x) = \cos(n \arccos x) \] 其中 \( T_ n(x) \) 就是现在所称的 第一类切比雪夫多项式 。它可以通过三角恒等式展开为x的多项式。例如： \( T_ 0(x) = 1 \) \( T_ 1(x) = x \) \( T_ 2(x) = 2x^2 - 1 \) \( T_ 3(x) = 4x^3 - 3x \) 切比雪夫证明了这些多项式在[ -1, 1 ]上具有“等波动”性质：即它们在该区间内交替取最大值1和最小值-1共n+1次。这一性质使得它们在逼近意义下是最优的。 第三步：正交性的确立与第二类多项式的引入 切比雪夫进一步研究了这些多项式在加权意义下的正交性。他发现在区间[ -1, 1 ]上，关于权函数 \( w(x) = 1/\sqrt{1-x^2} \)，第一类切比雪夫多项式构成正交系： \[ \int_ {-1}^{1} \frac{T_ m(x) T_ n(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = 0 \quad (m \neq n) \] 与此相关， 第二类切比雪夫多项式 \( U_ n(x) \) 也被引入，定义为： \[ U_ n(x) = \frac{\sin((n+1)\arccos x)}{\sqrt{1-x^2}} \] 它们在权函数 \( w(x) = \sqrt{1-x^2} \) 下是正交的。第二类多项式在数值积分和微分方程求解中也扮演着重要角色。 第四步：理论的系统化与推广 19世纪末至20世纪初，切比雪夫的学生们（如马尔可夫、斯图姆等）将这一理论系统化。切比雪夫多项式被证明是超几何微分方程的解： \[ (1-x^2)y'' - x y' + n^2 y = 0 \] 这将其与常微分方程理论联系起来。同时，其正交性和递推关系（如 \( T_ {n+1}(x) = 2xT_ n(x) - T_ {n-1}(x) \)）被深入研究，为函数展开和数值计算提供了便利工具。 第五步：在数值分析中的应用 20世纪中期，随着计算机的发展，切比雪夫多项式在数值分析中显示出巨大威力。例如： 切比雪夫节点 ：在多项式插值中，选择切比雪夫多项式的零点作为插值点，可以极大减少龙格现象，获得更稳定的逼近效果。 谱方法 ：在求解微分方程时，利用切比雪夫多项式作为基函数进行展开，形成了高效的谱方法，特别适用于光滑问题的数值解。 滤波器设计 ：在信号处理中，切比雪夫多项式被用于设计具有等波纹特性的电子滤波器，实现了通带和阻带的最优权衡。 总结 切比雪夫多项式从一个具体的极小化问题中诞生，经过切比雪夫及其学派的深入研究，确立了其正交性、递推关系和解微分方程的能力。20世纪后，它在数值分析、物理和工程中成为不可或缺的工具，体现了理论数学与应用数学的深刻结合。其演进历程是数学中“最优逼近”思想的典范。