遍历理论中的非一致部分双曲系统的绝对连续性 第一步：理解一致双曲系统的基本概念 在动力系统中，若一个映射 \( f: M \to M \) 在不变集 \( \Lambda \) 上是一致双曲的，则其切空间可分解为稳定子空间 \( E^s \)（沿该方向微分 \( Df \) 压缩）和不稳定子空间 \( E^u \)（沿该方向微分 \( Df \) 扩张），且压缩/扩张速率在 \( \Lambda \) 上一致有界。此时，稳定流形 \( W^s(x) \) 和不稳定流形 \( W^u(x) \) 是光滑嵌入子流形，且这些流形的叶片（leaves）在相空间中形成连续叶状结构。 第二步：引入非一致双曲系统的定义 非一致双曲系统放松了“一致有界”的条件：压缩/扩张速率可能依赖于点 \( x \in M \)，甚至在某些点或方向上趋于零（但通过李雅普诺夫指数保证平均指数非零）。此时，稳定/不稳定流形仍存在，但其尺寸、曲率或分布可能随点剧烈变化，导致叶状结构仅是可测的而非光滑的。 第三步：绝对连续性的问题背景 对于一致双曲系统，不稳定流形的叶片通常具有“绝对连续性”：即若在横截面上赋予条件测度，则沿不稳定叶片的平移会保持测度的等价类（绝对连续于体积测度）。但在非一致部分双曲系统中，由于叶片几何可能高度不规则，需要证明这种绝对连续性是否仍然成立。 第四步：非一致部分双曲系统的挑战 部分双曲系统要求切空间分解为 \( E^s \oplus E^c \oplus E^u \)，其中 \( E^c \) 是中心方向（可能中性或弱扩张/压缩）。在非一致情形下，\( E^c \) 的动态可能与稳定/不稳定方向耦合，导致： 叶片可能仅是 Hölder 连续而非光滑的； 叶片的尺寸可能随点指数衰减； 横截面的条件测度在叶片平移下可能产生奇异性。 第五步：绝对连续性的证明思路 关键工具是 Pesin 理论 中的“拉回”方法（pull-back argument）： 利用非一致双曲系统的局部线性化（通过 Lyapunov 图表）将动态近似为线性映射； 通过迭代比较叶片在动态作用下的像与线性近似之间的误差； 证明误差积累可控制，使得横截面上测度的拉回变换仍绝对连续于原测度。 第六步：应用与意义 绝对连续性是证明遍历性（如 SRB 测度的存在性）的核心步骤： 它允许将相空间的体积测度沿不稳定叶片分解； 结合遍历分解，可证明系统在物理测度下是混合的； 在部分双曲系统中，绝对连续性用于建立中心叶片的遍历性质（如中心遍历定理）。 总结 非一致部分双曲系统的绝对连续性揭示了即使动态在几何上高度不规则，其不稳定方向仍能保持测度的某种“光滑传递”性质。这一结论是 Pesin 遍历理论的重要支柱，连接了李雅普诺夫指数、叶状结构几何与统计性质。