分析学词条：热核与热方程 热核是分析学中研究热传导过程的核心工具，它与热方程的解密切相关。热方程描述了热量在介质中随时间的扩散过程，其数学形式为： \[ \frac{\partial u}{\partial t} = k \nabla^2 u, \] 其中 \( u(x, t) \) 表示温度分布，\( k > 0 \) 是热扩散系数，\( \nabla^2 \) 是拉普拉斯算子。热核提供了该方程在无界区域（如全空间 \( \mathbb{R}^n \)）上的基本解。 1. 一维热核的推导 考虑一维热方程： \[ \frac{\partial u}{\partial t} = k \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}, \quad x \in \mathbb{R}, \ t > 0. \] 假设初始温度分布为 \( u(x, 0) = f(x) \)。通过傅里叶变换法求解：对空间变量 \( x \) 作傅里叶变换，定义 \( \hat{u}(\xi, t) = \int_ {-\infty}^{\infty} u(x, t) e^{-i\xi x} \, dx \)，热方程化为： \[ \frac{\partial \hat{u}}{\partial t} = -k\xi^2 \hat{u}. \] 这是一个常微分方程，解为 \( \hat{u}(\xi, t) = \hat{f}(\xi) e^{-k\xi^2 t} \)。利用傅里叶逆变换及高斯积分的性质，可得解的形式： \[ u(x, t) = \frac{1}{\sqrt{4\pi k t}} \int_ {-\infty}^{\infty} f(y) e^{-\frac{(x-y)^2}{4kt}} \, dy. \] 其中核函数 \( H(x, t) = \frac{1}{\sqrt{4\pi k t}} e^{-\frac{x^2}{4kt}} \) 称为一维热核。 2. 热核的性质 热核具有以下关键性质： 非负性与归一化 ：对任意 \( t > 0 \)，有 \( H(x, t) \geq 0 \) 且 \( \int_ {-\infty}^{\infty} H(x, t) \, dx = 1 \)。 半群性质 ：热核满足卷积半群性质，即 \[ H(\cdot, t) * H(\cdot, s) = H(\cdot, t + s), \] 这反映了热扩散过程的时间可加性。 逼近恒等元 ：当 \( t \to 0^+ \) 时，热核弱收敛于狄拉克δ函数，即对任意连续函数 \( f \)，有 \[ \lim_ {t \to 0^+} \int_ {-\infty}^{\infty} H(x-y, t) f(y) \, dy = f(x). \] 3. 高维热核的推广 在 \( \mathbb{R}^n \) 中，热方程写作 \( \frac{\partial u}{\partial t} = k \nabla^2 u \)，其热核为： \[ H(x, t) = \frac{1}{(4\pi k t)^{n/2}} e^{-\frac{|x|^2}{4kt}}, \quad x \in \mathbb{R}^n. \] 该核同样满足归一化条件 \( \int_ {\mathbb{R}^n} H(x, t) \, dx = 1 \) 及半群性质。热核的解可表示为卷积： \[ u(x, t) = (H * f)(x, t) = \int_ {\mathbb{R}^n} H(x-y, t) f(y) \, dy. \] 4. 热核与概率论的联系 热核是布朗运动的转移概率密度函数。一维布朗运动 \( B_ t \) 的分布密度为 \( \frac{1}{\sqrt{2\pi t}} e^{-\frac{x^2}{2t}} \)，与热核形式一致（取 \( k = \frac{1}{2} \)）。这揭示了热扩散与随机过程的内在关联。 5. 应用实例：热方程的初值问题 求解初值问题 \( u_ t = k u_ {xx} \)，\( u(x, 0) = e^{-x^2} \)。直接代入卷积公式： \[ u(x, t) = \frac{1}{\sqrt{4\pi k t}} \int_ {-\infty}^{\infty} e^{-y^2} e^{-\frac{(x-y)^2}{4kt}} \, dy. \] 通过完成平方和高斯积分计算，可得： \[ u(x, t) = \frac{1}{\sqrt{1+4kt}} e^{-\frac{x^2}{1+4kt}}. \] 该解显式描述了初始高斯温度随时间的扩散过程。