数学物理方程中的变分原理与哈密顿-雅可比理论（续三）
第一步：变分原理的基本框架回顾与强化
变分原理的核心是寻求使某个泛函取极值的函数。以最简形式为例，考虑泛函：
\[J[y] = \int_{x_1}^{x_2} F(x, y, y') \, dx, \]
其中 \(y(x)\) 是待求函数，边界条件固定（如 \(y(x_1)=y_1, y(x_2)=y_2\)）。极值的必要条件由欧拉-拉格朗日方程给出：
\[\frac{\partial F}{\partial y} - \frac{d}{dx} \left( \frac{\partial F}{\partial y'} \right) = 0. \]
若泛函依赖多个函数（如 \(y_1(x), y_2(x)\)），则每个函数对应一个欧拉-拉格朗日方程。
第二步：哈密顿原理的数学表述
在力学中，哈密顿原理是变分原理的典型应用。定义作用量泛函：
\[S[q] = \int_{t_1}^{t_2} L(q, \dot{q}, t) \, dt, \]
其中 \(q=(q_1, \dots, q_n)\) 为广义坐标，\(L = T - V\) 为拉格朗日量（动能减势能）。真实运动路径使 \(S\) 取极值，对应的欧拉-拉格朗日方程即拉格朗日方程：
\[\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \right) - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0 \quad (i=1,\dots,n). \]
第三步：从拉格朗日量到哈密顿量
通过勒让德变换，将变量从广义速度 \(\dot{q}\) 转为广义动量 \(p_i = \partial L / \partial \dot{q}_i\)，定义哈密顿量：
\[H(p, q, t) = \sum_{i=1}^n p_i \dot{q}_i - L. \]
拉格朗日方程转化为哈密顿正则方程：
\[\dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}, \quad \dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i}. \]
这一形式揭示了相空间中的对称结构，并为哈密顿-雅可比理论奠基。
第四步：哈密顿-雅可比方程的核心思想
引入作用量函数 \(S(q, t)\)，使其满足：
- \(S\) 是哈密顿主函数，定义为沿真实路径的作用量积分：
\[ S(q, t) = \int_{t_0}^t L \, dt. \]
- 广义动量满足 \(p_i = \partial S / \partial q_i\)，代入哈密顿量得哈密顿-雅可比方程：
\[ \frac{\partial S}{\partial t} + H\left(q, \frac{\partial S}{\partial q}, t\right) = 0. \]
该方程是一个一阶非线性偏微分方程，描述了作用量 \(S\) 的演化。
第五步：哈密顿-雅可比方程的求解与物理意义
- 分离变量法：若 \(H\) 不显含时间，令 \(S(q, t) = W(q) - Et\)（\(E\) 为能量常数），方程化为：
\[ H\left(q, \frac{\partial W}{\partial q}\right) = E. \]
\(W\) 称为哈密顿特征函数，对应守恒系统的简化。
2. 解的含义：方程的解 \(S(q, \alpha, t)\)（\(\alpha\) 为积分常数）生成正则变换，将系统化为平凡运动（新动量 \(\alpha\) 为常数）。此即雅可比定理：若找到包含 \(n\) 个常数的解，则通过 \(\beta_i = \partial S / \partial \alpha_i\) 可得到运动轨迹。
第六步：与波动方程和量子力学的联系
在几何光学近似下，将波动方程的解设为 \(\psi = A e^{i k S}\)，代入后取高频极限（\(k \to \infty\)），可得哈密顿-雅可比方程。这揭示了经典力学与波动的深层关联，并为薛定谔方程的经典极限提供桥梁。在量子力学中，作用量 \(S\) 对应波相位，哈密顿-雅可比方程转化为量子哈密顿-雅可比方程。
总结：变分原理与哈密顿-雅可比理论通过作用量泛函的极值问题，统一描述了力学系统的演化，其数学框架在经典力学、波动理论和量子力学中具有普适性。