随机波动率模型的傅里叶展开方法
第一步：随机波动率模型的核心思想
随机波动率模型假设资产价格的波动率本身是一个随机过程，而非常数（如布莱克-斯科尔斯模型）或确定性函数（如局部波动率模型）。这种设定能更真实地反映市场波动率的时变性和随机性，从而捕捉波动率聚类、杠杆效应等典型现象。模型的一般形式为：
- 资产价格过程：\(dS_t = \mu S_t dt + \sqrt{v_t} S_t dW_t^S\)
- 波动率过程：\(dv_t = \alpha(t, v_t) dt + \beta(t, v_t) dW_t^v\)
其中，\(W_t^S\) 和 \(W_t^v\) 是相关的布朗运动，相关系数为 \(\rho\)。随机波动率的引入使定价偏微分方程变为双变量问题，解析解通常难以获得。
第二步：傅里叶变换在期权定价中的优势
对于欧式期权，定价问题可转化为计算风险中性期望：\(C = e^{-rT} \mathbb{E}[(S_T - K)^+]\)。直接计算需依赖资产价格的整个分布，但傅里叶变换能将期望转化为特征函数的积分形式。资产价格 \(S_T\) 的特征函数定义为 \(\phi(u) = \mathbb{E}[e^{iu \ln S_T}]\)，其闭式表达式在多数随机波动率模型下存在（如赫斯顿模型）。通过傅里叶反变换，期权价格可表示为：
\[C = e^{-rT} \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \phi(u) \cdot \hat{P}(u) \, du \]
其中 \(\hat{P}(u)\) 是期权收益函数的傅里叶变换。该方法避免了解偏微分方程或蒙特卡洛模拟，计算效率更高。
第三步：傅里叶展开方法的具体实现——COS方法
傅里叶余弦展开（COS）方法是一种高效数值技术，利用特征函数和余弦级数展开近似期权价格。核心步骤包括：
- 截断积分域：将资产价格的对数密度函数支撑集截断为有限区间 \([a, b]\)，确保积分误差可控。
- 余弦级数展开：在区间 \([a, b]\) 上，密度函数可展开为余弦级数：
\[ f(x) \approx \sum_{k=0}^{N-1} ' A_k \cos\left( k\pi \frac{x-a}{b-a} \right), \quad A_k = \frac{2}{b-a} \Re \left[ \phi\left( \frac{k\pi}{b-a} \right) e^{-i\frac{k\pi a}{b-a}} \right] \]
其中 \(\sum'\) 表示首项系数减半，\(\Re\) 表示取实部。
3. 期权价格近似：代入期权收益函数的余弦系数，得到价格表达式：
\[ C \approx e^{-rT} \sum_{k=0}^{N-1} ' \Re \left[ \phi\left( \frac{k\pi}{b-a} \right) e^{-i\frac{k\pi a}{b-a}} \right] V_k \]
其中 \(V_k\) 是收益函数的余弦系数。对于看涨期权，\(V_k\) 有解析形式。
第四步：方法在随机波动率模型中的校准与应用
- 模型校准：通过市场期权价格反推模型参数（如赫斯顿模型的均值回归速度、长期波动率等），需最小化模型价格与市场价格的误差。COS方法加速了定价过程，使校准更高效。
- 扩展性：该方法可处理复杂随机波动率模型（如带跳跃的版本），仅需知道特征函数即可定价。
- 局限性：COS方法的精度依赖截断区间 \([a, b]\) 的选择和级数项数 \(N\)；对于路径依赖期权（如美式期权），需结合其他技术（如最小二乘蒙特卡洛）。