可测函数序列的等度可测性与等度连续性的关系 我们先明确等度可测性与等度连续性的定义。 第一步：等度可测性的定义 设 \( (X, \mathcal{M}, \mu) \) 是一个测度空间，\( \{f_ n\} \) 是一族可测函数。称 \( \{f_ n\} \) 是等度可测的，如果对任意 \( \varepsilon > 0 \)，存在可测集 \( E \subset X \) 使得 \( \mu(X \setminus E) < \varepsilon \)，且 \( \{f_ n\} \) 在 \( E \) 上一致有界（即存在 \( M > 0 \) 使得 \( \sup_ {x \in E} |f_ n(x)| \leq M \) 对所有 \( n \) 成立）。 第二步：等度连续性的定义（在拓扑群或度量空间背景） 设 \( G \) 是局部紧拓扑群，\( \{f_ n\} \) 是 \( G \) 上的一族函数。称 \( \{f_ n\} \) 是等度连续的，如果对任意 \( \varepsilon > 0 \)，存在单位元 \( e \) 的邻域 \( U \) 使得对任意 \( n \) 和任意 \( x, y \in G \) 满足 \( x^{-1}y \in U \)，有 \( |f_ n(x) - f_ n(y)| < \varepsilon \)。 第三步：在特定条件下的关系 当 \( X \) 是紧群且 \( \mu \) 是哈尔测度时 ：若 \( \{f_ n\} \) 等度连续，则它等度可测。这是因为等度连续性保证了函数族在一致拓扑下相对紧（阿斯科利-阿尔泽拉定理），从而可被一致有界函数族逼近，满足等度可测性条件。 反之不成立 ：等度可测性不蕴含等度连续性。例如，在 \( [ 0,1] \) 上取 \( f_ n(x) = \sin(nx) \)，该族在勒贝格测度下等度可测（因其一致有界），但非等度连续（高频振荡导致连续性不一致）。 第四步：通过卢津定理的推广理解 等度可测性可视为“一致卢津性质”：每个 \( f_ n \) 在接近满测的集上一致有界，且限制在该集上后，整体族具有某种一致控制。而等度连续性要求更强的拓扑一致性。在度量空间上，若附加一致利普希茨条件，则等度连续性可推出等度可测性。 第五步：应用场景 该关系在紧群上的调和分析、函数列的紧性分析中尤为重要。例如，证明等度连续族在 \( L^p \) 空间中的相对紧性时，常需先验证等度可测性以应用弗莱歇-科尔莫戈罗夫紧性准则。