亥姆霍兹方程的格林函数
我们接下来详细讲解亥姆霍兹方程的格林函数。格林函数法是求解线性非齐次微分方程（包括许多重要的数学物理方程）的一个强大工具。它允许我们将任意源项（非齐次项）的影响表示为点源影响的叠加。对于亥姆霍兹方程，格林函数尤其重要，因为它与波动现象（如声学、电磁学、量子力学）紧密相关。
第一步：回顾亥姆霍兹方程及其物理背景
首先，我们明确什么是亥姆霍兹方程。它是一个描述在固定频率下振荡现象的偏微分方程，其标准形式为：
\[ (\nabla^2 + k^2) u(\mathbf{r}) = -f(\mathbf{r}) \]
其中：
- \(\nabla^2\) 是拉普拉斯算子。
- \(k\) 是一个常数（通常是波数，与频率相关）。
- \(u(\mathbf{r})\) 是我们要求的未知函数（例如，声压场、电磁场的某个分量）。
- \(f(\mathbf{r})\) 是源项或强迫项。
- 方程右边的负号是一个常见的约定，为了后续格林函数形式的简洁性。
这个方程是如何来的？它通常是从时域波动方程推导而得。考虑波动方程：
\[ \nabla^2 \psi(\mathbf{r}, t) - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2} \psi(\mathbf{r}, t) = -s(\mathbf{r}, t) \]
如果我们假设场和源都是随时间简谐振荡的，即 \(\psi(\mathbf{r}, t) = \text{Re}[u(\mathbf{r}) e^{-i\omega t}]\) 和 \(s(\mathbf{r}, t) = \text{Re}[f(\mathbf{r}) e^{-i\omega t}]\)，代入波动方程并利用 \(k = \omega / c\)，就能得到上述亥姆霍兹方程。因此，求解亥姆霍兹方程等价于求解稳态（时间无关）的波动问题。
第二步：引入格林函数的概念——点源响应
格林函数法的核心思想是“化整为零”。我们不去直接求解一个复杂分布源 \(f(\mathbf{r})\) 产生的场 \(u(\mathbf{r})\)，而是先求解一个最简单、最基本的源产生的场——一个位于空间某点的单位点源。
亥姆霍兹方程的格林函数，记为 \(G(\mathbf{r}, \mathbf{r}‘)\)，定义为满足以下方程的函数：
\[ (\nabla^2 + k^2) G(\mathbf{r}, \mathbf{r}’) = -\delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}‘) \]
这里：
- \(\mathbf{r}\) 是观察点（场点）的位置矢量。
- \(\mathbf{r}’\) 是点源所在的位置矢量。
- \(\delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}’)\) 是三维狄拉克δ函数。它的物理意义是在 \(\mathbf{r}’\) 点有一个单位强度的点源。
所以，格林函数 \(G(\mathbf{r}, \mathbf{r}‘)\) 的物理意义非常明确：它表示在 \(\mathbf{r}’\) 点放置一个单位点源时，在 \(\mathbf{r}\) 点所产生的场（或响应）。
第三步：利用线性叠加原理构建一般解
现在我们有了点源的解，如何用它来构造任意分布源 \(f(\mathbf{r})\) 的解呢？这依赖于亥姆霍兹算子是线性算子，以及δ函数的性质。
- 任意源的分解： 任意连续的源分布 \(f(\mathbf{r})\) 可以看作是无数个点源的叠加。数学上，这可以表示为：
\[ f(\mathbf{r}) = \int f(\mathbf{r}‘) \delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}’) d\mathbf{r}’ \]
这个积分告诉我们，位于 \(\mathbf{r}’\) 的点源强度是 \(f(\mathbf{r}’) d\mathbf{r}‘\)。
- 响应的叠加： 由于方程是线性的，整个源 \(f(\mathbf{r})\) 产生的场 \(u(\mathbf{r})\)，应该是所有点源 \(f(\mathbf{r}’) \delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}’) d\mathbf{r}’\) 产生的场的叠加。每个点源产生的场是 \(f(\mathbf{r}’) G(\mathbf{r}, \mathbf{r}’) d\mathbf{r}’\)。因此，总的场就是对这些贡献进行积分：
\[ u(\mathbf{r}) = \int f(\mathbf{r}’) G(\mathbf{r}, \mathbf{r}’) d\mathbf{r}’ \]
你可以验证，将上述代入原亥姆霍兹方程 \((\nabla^2 + k^2) u = -f\)，利用格林函数所满足的方程和δ函数的性质，等式是成立的。
这个公式就是亥姆霍兹方程在自由空间（无边界）下的积分形式解。它告诉我们，只要找到了格林函数 \(G\)，对于任何源 \(f\)，我们都能通过积分计算出场 \(u\)。
第四步：求解自由空间的格林函数
现在的问题是：这个格林函数 \(G(\mathbf{r}, \mathbf{r}‘)\) 的具体形式是什么？由于自由空间是均匀且各向同性的，格林函数应只依赖于源点与场点之间的距离 \(R = |\mathbf{r} - \mathbf{r}’|\)，即 \(G(\mathbf{r}, \mathbf{r}’) = G(R)\)。
- 方程简化： 在 \(\mathbf{r} \neq \mathbf{r}’\) 的区域，δ函数为零。方程变为齐次方程：
\[ (\nabla^2 + k^2) G(R) = 0 \quad (R > 0) \]
在球坐标系下，对于仅依赖于径向距离 \(R\) 的函数，拉普拉斯算子简化为：
\[ \nabla^2 G = \frac{1}{R^2} \frac{d}{dR} \left( R^2 \frac{dG}{dR} \right) = \frac{1}{R} \frac{d^2}{dR^2} (R G) \]
因此，方程变为：
\[ \frac{1}{R} \frac{d^2}{dR^2} (R G) + k^2 G = 0 \]
两边乘以 \(R\)，得到：
\[ \frac{d^2}{dR^2} (R G) + k^2 (R G) = 0 \]
- 求解常微分方程： 这是一个关于 \((R G)\) 的标准简谐振动方程，其通解为：
\[ R G(R) = A e^{ikR} + B e^{-ikR} \]
所以，
\[ G(R) = A \frac{e^{ikR}}{R} + B \frac{e^{-ikR}}{R} \]
其中 \(A\) 和 \(B\) 是待定常数。
- 确定常数与物理意义： 这两项分别对应出射波和入射波。
- \(\frac{e^{ikR}}{R}\) 表示从点源 \(\mathbf{r}’\) 向外传播的球面波（出射波）。
- \(\frac{e^{-ikR}}{R}\) 表示从无穷远处向点源 \(\mathbf{r}’\) 汇聚的球面波（入射波）。
在大多数物理问题中（如声源、天线辐射），我们采用索末菲辐射条件，它要求在无穷远处只有出射波，没有向内汇聚的波。因此，我们取 \(B = 0\)。
- 确定强度系数 \(A\)： 为了确定 \(A\)，我们需要考虑点源（δ函数）的贡献。我们将格林函数方程积分包围点源的一个小体积（例如半径为 \(\epsilon\) 的球），然后令 \(\epsilon \to 0\)。利用高斯散度定理和δ函数的性质，可以推导出 \(A = \frac{1}{4\pi}\)。（具体推导涉及对小球体积积分，利用 \(\int \delta(\mathbf{r}) dV = 1\)，并注意到当 \(R \to 0\) 时，\(e^{ikR} \to 1\)，方程主要受 \(\nabla^2 (1/R) = -4\pi \delta(\mathbf{r})\) 支配）。
因此，三维自由空间中亥姆霍兹方程的格林函数最终形式为：
\[ G(\mathbf{r}, \mathbf{r}’) = \frac{e^{ik |\mathbf{r} - \mathbf{r}’|}}{4\pi |\mathbf{r} - \mathbf{r}’|} \]
这个结果非常重要，它描述了一个振荡点源所产生的球面波。
第五步：从自由空间解到边值问题——格林恒等式的应用
上面的积分解 \(u(\mathbf{r}) = \int f(\mathbf{r}’) G(\mathbf{r}, \mathbf{r}’) d\mathbf{r}’\) 仅适用于源分布在整个自由空间的情况。当存在边界时（例如一个房间的墙壁、一个障碍物的表面），场不仅由源决定，还受边界条件（如狄利克雷条件 \(u|_S = g\) 或诺伊曼条件 \(\partial u/\partial n |_S = h\) ）的约束。
为了求解有界区域 \(V\) 内的亥姆霍兹方程，我们需要使用格林第二恒等式（标量形式）：
\[ \int_V (\phi \nabla^2 \psi - \psi \nabla^2 \phi) dV = \oint_S \left( \phi \frac{\partial \psi}{\partial n} - \psi \frac{\partial \phi}{\partial n} \right) dS \]
其中 \(S\) 是区域 \(V\) 的边界，\(\partial / \partial n\) 是边界上的外法向导数。
我们做如下替换：
- 令 \(\phi(\mathbf{r}’) = G(\mathbf{r}, \mathbf{r}’)\) （\(\mathbf{r}\) 固定在场点，\(\mathbf{r}’\) 是积分变量）
- 令 \(\psi(\mathbf{r}’) = u(\mathbf{r}’)\) （待求的函数）
代入格林第二恒等式，并利用 \(\nabla’^2 G = -k^2 G - \delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}’)\) 和 \(\nabla’^2 u = -k^2 u - f\)，经过化简后，可以得到亥姆霍兹方程的解的积分表达式：
\[ u(\mathbf{r}) = \int_V f(\mathbf{r}’) G(\mathbf{r}, \mathbf{r}’) dV’ + \oint_S \left[ u(\mathbf{r}’) \frac{\partial G(\mathbf{r}, \mathbf{r}’)}{\partial n’} - G(\mathbf{r}, \mathbf{r}’) \frac{\partial u(\mathbf{r}’)}{\partial n’} \right] dS’ \]
这个公式比自由空间的解多了一个边界积分项。它表明，区域 \(V\) 内任一点的场 \(u(\mathbf{r})\) 由两部分贡献组成：
- 体积分： 区域 \(V\) 内所有源 \(f\) 的贡献。
- 面积分： 边界 \(S\) 上场的值 \(u|_S\) 和场的法向导数 \(\partial u/\partial n |_S\) 的贡献。
第六步：具体边值问题的求解思路
上面的积分表达式虽然完美，但并不能直接给出解，因为右边的面积分同时包含了未知的 \(u|_S\) 和 \(\partial u/\partial n |_S\)（边界条件通常只给定其中一个）。为了解决这个问题，我们需要引入满足齐次边界条件的格林函数。
例如，对于狄利克雷问题（边界上 \(u\) 已知），我们构造一个格林函数 \(G_D(\mathbf{r}, \mathbf{r}’)\)，它满足：
- \((\nabla^2 + k^2) G_D(\mathbf{r}, \mathbf{r}’) = -\delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}’)\) （在区域 \(V\) 内）。
- \(G_D(\mathbf{r}, \mathbf{r}’) = 0\) 当 \(\mathbf{r} \in S\)（边界）时。
如果我们使用 \(G_D\) 代替之前的自由空间格林函数 \(G\)，那么上面的积分表达式中的面积分就会简化，因为 \(G_D\) 在边界上为零，含有 \(\partial u/\partial n’\) 的项被消去。最终解变为：
\[ u(\mathbf{r}) = \int_V f(\mathbf{r}’) G_D(\mathbf{r}, \mathbf{r}’) dV’ - \oint_S g(\mathbf{r}’) \frac{\partial G_D(\mathbf{r}, \mathbf{r}’)}{\partial n’} dS’ \]
其中 \(g(\mathbf{r}’) = u(\mathbf{r}’) |_S\) 是已知的边界条件。现在，公式右边全部是已知量。问题的关键就转化为如何构造出满足特定齐次边界条件的格林函数 \(G_D\)。这通常很困难，只有在几何形状规则的区域（如半空间、球、矩形域）才能解析求出。
总结来说，亥姆霍兹方程的格林函数法提供了一个强大而统一的框架来理解并求解各类波动问题，它将物理上的惠更斯原理数学化，清晰地展示了场如何由源和边界共同决定。