模的Yoneda引理 背景：范畴论的基本对象 在范畴论中，一个范畴由对象和对象间的态射（映射）构成。例如，所有模构成的范畴中，对象是模，态射是模同态。研究范畴时，我们常通过态射来理解对象的性质。 Hom函子的定义 对范畴中的任意对象 \( A \)，定义 Hom函子 \( \text{Hom}(A, -) \)：它将对象 \( X \) 映射到集合 \( \text{Hom}(A, X) \)（所有从 \( A \) 到 \( X \) 的态射构成的集合），将态射 \( f: X \to Y \) 映射到函数 \( f_* : \text{Hom}(A, X) \to \text{Hom}(A, Y) \)（通过复合 \( f \circ - \) 实现）。 Yoneda引理的陈述 设 \( \mathcal{C} \) 为范畴，\( A \) 是 \( \mathcal{C} \) 的对象，\( F: \mathcal{C} \to \mathbf{Set} \) 是一个协变函子（如 Hom 函子）。Yoneda引理断言：从函子 \( \text{Hom}(A, -) \) 到函子 \( F \) 的自然变换的集合，与集合 \( F(A) \) 存在一一对应。即： \[ \text{Nat}(\text{Hom}(A, -), F) \cong F(A). \] 特别地，当 \( F = \text{Hom}(B, -) \) 时，有 \( \text{Nat}(\text{Hom}(A, -), \text{Hom}(B, -)) \cong \text{Hom}(B, A) \)。 核心思想：对象由其与其他对象的关系决定 Yoneda引理表明，对象 \( A \) 完全由其通过 Hom 函子定义的“关系”所刻画。例如，若两个对象 \( A \) 和 \( B \) 满足 \( \text{Hom}(A, -) \cong \text{Hom}(B, -) \)（作为函子同构），则 \( A \cong B \)。这体现了范畴论中“对象由态射确定”的基本哲学。 应用：嵌入定理与万有性质 Yoneda引理导出一个重要推论： Yoneda嵌入 。它将范畴 \( \mathcal{C} \) 嵌入到函子范畴 \( [ \mathcal{C}^{\text{op}}, \mathbf{Set} ] \) 中，使得范畴论问题可转化为集合论问题。此外，万有性质（如张量积、极限）均可通过 Hom 函子的自然同构来定义。 在模论中的具体例子 设 \( R \) 为环，\( M, N \) 为 \( R \)-模。Yoneda引理说明：从函子 \( \text{Hom}(M, -) \) 到 \( \text{Hom}(N, -) \) 的自然变换一一对应于模同态 \( N \to M \)。这为研究模的表示和分类提供了有力工具。