模形式的傅里叶系数与拉马努金猜想 模形式是复平面上的全纯函数，满足特定的对称性和增长条件。其傅里叶展开为： \[ f(z) = \sum_ {n=0}^{\infty} a(n) e^{2\pi i n z} \] 其中系数 \(a(n)\) 捕捉了模形式的算术信息。 拉马努金τ函数 定义为戴德金η函数的24次幂的傅里叶系数： \[ \Delta(z) = \eta(z)^{24} = \sum_ {n=1}^{\infty} \tau(n) e^{2\pi i n z} \] τ(n) 是整数序列，满足乘性性质：若 \(m\) 与 \(n\) 互素，则 \(\tau(mn) = \tau(m)\tau(n)\)。 拉马努金猜想 （1916年提出）包含三个部分： 乘性猜想 ：τ(n) 是完全乘性函数，即对所有 \(m,n\) 有 \(\tau(mn) = \tau(m)\tau(n)\)。此性质后被莫德尔证明（1917年）。 增长性猜想 ：\(|\tau(p)| \leq 2p^{11/2}\) 对所有素数 \(p\) 成立。此即拉马努金-彼得森猜想，由德利涅证明（1974年）。 同余式猜想 ：例如 \(\tau(p) \equiv 1 + p^{11} \pmod{691}\)，此同余式反映模形式与伯努利数的关系，由拉马努金本人发现。 证明进展 ： 乘性性质通过赫克算子的特征形式理论解决。 增长性猜想化为韦伊猜想的特例，德利涅用代数几何工具证明。 同余式与模形式的l进伽罗瓦表示相关，揭示了p进对称性。 拉马努金猜想深刻影响了模形式与朗兰兹纲领，其证明融合了表示论、代数几何和p进分析。