鲁津定理（Luzin's Theorem） 鲁津定理是实变函数论中的一个重要结果，它描述了可测函数与连续函数之间的深刻联系。我将从基本概念出发，逐步讲解这个定理的内容和意义。 背景与动机 在实分析中，可测函数是比连续函数更广泛的一类函数（例如，狄利克雷函数是可测的但不连续）。一个自然的问题是：可测函数能否用连续函数“逼近”？ 鲁津定理通过“除去一个测度任意小的集合”这一思想，给出了肯定的回答：任何可测函数在去掉一个测度很小的集合后，可以成为连续函数。 预备知识 勒贝格可测集 ：欧几里得空间 \(\mathbb{R}^n\) 中，若一个集合能被开集从外部“近似”到任意精度（按勒贝格测度），则称为勒贝格可测集。 可测函数 ：设 \(E \subset \mathbb{R}^n\) 是可测集。函数 \(f: E \to \mathbb{R}\) 是可测的，如果对任意实数 \(c\)，集合 \(\{x \in E : f(x) > c\}\) 是可测集。 几乎处处 ：如果某个性质在 \(E\) 上除了一个零测集外都成立，则称该性质在 \(E\) 上几乎处处成立。 鲁津定理的严格表述 设 \(E \subset \mathbb{R}^n\) 是一个勒贝格可测集，且 \(\mu(E) < +\infty\)（即 \(E\) 具有有限测度）。如果 \(f: E \to \mathbb{R}\) 是一个可测函数，则对任意 \(\epsilon > 0\)，存在一个闭集 \(F_ \epsilon \subset E\)，满足： \(\mu(E \setminus F_ \epsilon) < \epsilon\)， \(f\) 在 \(F_ \epsilon\) 上的限制 \(f| {F \epsilon}\) 是连续函数。 注：若 \(E\) 是闭集或 \(\mathbb{R}^n\) 本身，定理仍成立，但需对无界集情况稍作调整（例如考虑局部紧性）。 定理的直观解释 可测函数可能有很多不连续点，但鲁津定理表明，这些不连续点可以被“隔离”到一个测度很小的集合 \(E \setminus F_ \epsilon\) 中。在剩余的大部分区域 \(F_ \epsilon\) 上，函数表现出连续性。 例如，定义在 \([ 0,1]\) 上的狄利克雷函数（有理点取值为1，无理点取值为0）是不连续的，但它是可测的。通过取 \(F_ \epsilon\) 为无理数集的子集（去掉一部分点后剩余集合是闭集），狄利克雷函数在 \(F_ \epsilon\) 上恒为0，因而是连续的。 证明思路（关键步骤） 步骤1 ：利用可测函数的构造性质（如简单函数逼近），将 \(f\) 近似为一列简单函数 \(\{s_ n\}\)，使得 \(s_ n \to f\) 几乎处处。 步骤2 ：对每个 \(s_ n\)，应用蒂特夫定理（或鲁津定理的简化版）找到闭集 \(F_ n \subset E\)，使得 \(\mu(E \setminus F_ n) < \epsilon/2^n\)，且 \(s_ n\) 在 \(F_ n\) 上连续。 步骤3 ：取 \(F = \bigcap_ {n=1}^\infty F_ n\)，则 \(\mu(E \setminus F) < \epsilon\)，且所有 \(s_ n\) 在 \(F\) 上连续。再由一致收敛性（或等度连续性）推出 \(f\) 在 \(F\) 上连续。 注 ：实际证明中需注意一致收敛的保证（例如埃戈罗夫定理）。