模的Auslander-Reiten平移 模的Auslander-Reiten平移（简称AR平移）是表示论中研究模范畴同构结构的核心工具，它通过Auslander-Reiten序列（几乎分裂序列）揭示不可分解模之间的内在联系。以下逐步展开这一概念： 1. 背景：不可分解模与几乎分裂序列 不可分解模 ：若模 \( M \) 不能分解为两个非零模的直和，则称其不可分解。在有限表示型代数中，所有模均可由有限个不可分解模唯一分解（Krull-Schmidt定理）。 几乎分裂序列 （AR序列）：是短正合序列 \( 0 \to A \to B \to C \to 0 \)，满足： \( A \) 和 \( C \) 不可分解； 序列非分裂（即 \( B \not\cong A \oplus C \)）； 具有“极小性”：任何非同构态射 \( X \to C \) 可提升为 \( X \to B \)，任何非同构态射 \( A \to Y \) 可扩展为 \( B \to Y \)。 2. AR平移的定义：DTr与TrD函子 设 \( \Lambda \) 是Artin代数，\( \text{mod}\,\Lambda \) 为有限生成左模范畴。 平移函子 \( \tau \)（AR平移）定义如下： 对不可分解非投射模 \( C \)，存在唯一不可分解非内射模 \( A \) 使得 \( 0 \to A \to B \to C \to 0 \) 是AR序列，记 \( \tau C = A \)。 对偶地，对不可分解非内射模 \( A \)，记 \( \tau^{-1} A = C \)。 具体构造 ： 取 \( C \) 的极小投射表示 \( P_ 1 \to P_ 0 \to C \to 0 \)，应用对偶函子 \( D = \text{Hom}_ k(-,k) \) 得 \( 0 \to DC \to DP_ 0 \to DP_ 1 \to \text{Tr} C \to 0 \)，其中 \( \text{Tr} C \) 为转置模。 定义 \( \tau C = D\text{Tr} C \)，\( \tau^{-1} C = \text{Tr} D C \)。 3. AR平移的性质 同构意义下的唯一性 ：每个不可分解非投射模 \( C \) 对应唯一 \( \tau C \)（模同构）。 函子性 ：\( \tau \) 是加性函子，且诱导稳定范畴（商去投射模）的自等价。 几乎分裂序列的刻画 ：AR序列必形如 \( 0 \to \tau C \to B \to C \to 0 \)。 4. AR箭图与不可分解模的分类 AR箭图（Auslander-Reiten四元组） ：以不可分解模为顶点，箭头表示不可分解态射，AR序列对应箭图中的不可约态射。 应用 ： 通过AR平移生成不可分解模的轨道 \( \{\tau^n C \}_ {n \in \mathbb{Z}} \)。 有限表示型代数的AR箭图是有限连通的，且可由Coxeter变换描述。 5. 示例：\( A_ 3 \) 路代数 考虑路代数 \( k(1 \to 2 \to 3) \)，其不可分解模对应路径的表示。 AR箭图为线性链： \[ P_ 1 \to P_ 2 \to P_ 3 \to I_ 2 \to I_ 1 \] 其中 \( P_ i \) 是投射模，\( I_ i \) 是内射模，且 \( \tau P_ 3 = I_ 2 \)，\( \tau P_ 2 = I_ 1 \)。 6. 推广与深层理论 稳定范畴 ：在模范畴商去投射模后，\( \tau \) 成为等价函子（Happel定理）。 高维AR理论 ：用于导出范畴与奇点范畴，推广为Serre函子（三角范畴中满足同构 \( \text{Hom}(X,Y) \cong D\text{Hom}(Y,\tau X) \)）。 通过AR平移，不可分解模之间的同构关系被编码为箭图的几何结构，成为表示论分类问题的核心工具。