平行四边形的欧拉定理在三角形中的推广（续三）

我们继续深入探讨平行四边形欧拉定理在三角形中的推广。之前我们已经建立了三角形中点三角形与欧拉线的基本联系，现在我们将进一步研究这一关系的几何不变性及其在特殊三角形中的表现。

1. 中点三角形的欧拉线不变性
   对于任意给定三角形ABC，其中点三角形DEF（D、E、F分别为BC、CA、AB的中点）的欧拉线方向与原三角形ABC的欧拉线方向平行。这一性质是仿射不变的，即在仿射变换（如平移、旋转、缩放）下保持不变。具体来说：

   • 三角形ABC的欧拉线通过垂心H、重心G和外心O三点。
   • 中点三角形DEF的欧拉线也通过其垂心H′、重心G′和外心O′，且H′、G′、O′分别位于ABC的欧拉线上，满足比例关系：G′是GH的中点，O′是OG的中点。

2. 特殊三角形中的简化性质
   在等边三角形和直角三角形中，上述推广呈现简化形式：

   • 等边三角形：中点三角形与原三角形相似，且欧拉线重合（因垂心、重心、外心合一）。此时中点三角形的欧拉线退化为一点。
   • 直角三角形：中点三角形的外心为斜边中点，其欧拉线平行于原三角形的欧拉线，且长度比为1:2。

3. 与九点圆的关系
   中点三角形的欧拉线与原三角形的九点圆（通过三边中点的圆）有密切联系：

   • 中点三角形DEF的外心O′恰好是九点圆的圆心。
   • 九点圆还通过原三角形的垂足点和欧拉线中点，进一步强化了欧拉线与中点三角形的几何关联。

4. 向量证明的推广
   用向量法可统一证明上述性质。设三角形顶点坐标为向量A、B、C，中点D、E、F的坐标可表示为(B+C)/2等。通过计算中点三角形的垂心H′和重心G′，可验证H′、G′、O′共线且平行于ABC的欧拉线，且满足线性组合关系：H′ = (A+B+C)/2 - H/2（其中H为ABC的垂心）。

这一推广揭示了三角形与其中点三角形在欧拉结构上的深刻对称性，是欧拉定理从四边形到三角形背景下的重要延伸。