遍历理论中的非一致膨胀系统

非一致膨胀系统是遍历理论中研究的一类重要动力系统，其特点是系统的扩张行为（膨胀）在相空间的不同点或不同时间上不是恒定或均匀的。

1. 基本概念：从一致双曲到非一致

   • 首先，回忆一致双曲系统（如阿诺索夫系统）。在这类系统中，存在两个不变的子空间（稳定和不稳定流形），并且系统沿着不稳定流形的膨胀速率以及沿着稳定流形的收缩速率，在整个相空间上都是一致的，并且有下界。
   • 非一致膨胀系统放松了“一致”这个条件。系统仍然具有膨胀行为（即相邻轨道指数式分离的趋势），但这种膨胀的“强度”（由李雅普诺夫指数衡量）可能依赖于相空间中的点。换句话说，在某些区域膨胀可能很强，在另一些区域可能很弱，甚至在某些点可能暂时没有膨胀（即李雅普诺夫指数为零或接近零）。

2. 数学刻画：李雅普诺夫指数与可容许性条件

   • 系统的膨胀特性由李雅普诺夫指数精确描述。对于一个动力系统，在相空间的一点x，沿着一个切向量v，其李雅普诺夫指数定义为衡量该向量在系统迭代下平均指数拉伸速率的极限。对于一个非一致膨胀系统，我们通常要求其最大的李雅普诺夫指数在几乎每一点（关于某个不变测度）都是正的。
   • 然而，仅有正李雅普诺夫指数还不够。为了进行有效的分析（例如建立稳定流形定理），通常需要附加一些“可容许”或“缓慢变化”的条件。一个常见的条件是Pesin可逆性，它要求负时间的李雅普诺夫指数（对应于过去）与正时间的李雅普诺夫指数（对应于未来）在几乎处处相等（仅符号相反）。这保证了系统在时间上向前和向后具有某种对称性，使得理论可以顺利发展。

3. 核心结果：Pesin理论

   • 对于满足一定正则性（通常是C^1+α光滑性）和非一致膨胀性（正李雅普诺夫指数）以及Pesin可逆性条件的系统，有一套强大的理论框架，称为Pesin理论。
   • Pesin理论的核心成果之一是非一致双曲集的稳定流形定理。该定理断言，在满足条件的点上，即使膨胀率不是一致的，也仍然存在局部稳定的和不稳定的光滑流形。这些流形在每一点的切空间正好对应于李雅普诺夫指数为负（稳定）和正（不稳定）的向量方向。
   • 与一致双曲情况不同，非一致双曲流形的尺寸（大小）可能随着点的变化而变化，甚至可能非常小。

4. 绝对连续性与SRB测度

   • 一个关键且深刻的概念是稳定流形和不稳定流形的横截绝对连续性。简单来说，这意味着如果将一个小的“盒子”沿着不稳定流形（或稳定流形）的叶片进行分解，那么其体积测度在不同叶片间的分布是“绝对连续”的（即没有奇异的跳跃）。这是证明遍历性和混合性等统计性质的基础。
   • 对于耗散系统（非保体积系统），在非一致双曲集上可能存在一种特殊的物理测度，称为SRB测度（以Sinai, Ruelle, Bowen命名）。SRB测度描述了典型轨道的时间平均行为，即使系统本身不保持相空间的体积。它的存在性和性质与非一致膨胀和不稳定流形的绝对连续性紧密相关。

5. 意义与挑战

   • 非一致膨胀系统比一致双曲系统更广泛，许多实际模型（如具有非均匀参数的混沌系统、某些偏微分方程的动力系统）都表现出非一致膨胀的特性。
   • 研究的主要挑战在于处理膨胀率的非均匀性和可能出现的“中性”方向（李雅普诺夫指数为零）。这通常需要更精细的分析工具，如乘性遍历定理（Oseledets定理）来确保李雅普诺夫指数的存在性，以及Lyapunov范数或适配度量等技术来局部地“矫正”系统，使其在某个修正的度量下看起来更像一致膨胀的系统，从而应用已知的理论。