遍历理论中的非均匀双曲系统的绝对连续性 稳定与不稳定叶状结构的基本概念 在遍历理论中，双曲系统的一个核心特征是存在稳定流形和不稳定流形，它们构成系统的叶状结构。对于非均匀双曲系统（即双曲性在不同点或时间上可能变化），这些叶状结构是局部可积的，但可能不具有全局光滑性。稳定流形由渐近收缩的轨道构成，而不稳定流形由渐近扩张的轨道构成。绝对连续性的研究关注这些叶状结构如何与系统的测度相互作用。 绝对连续性的定义与直观意义 绝对连续性描述叶状结构在测度论意义上的“横截正则性”。具体来说，考虑一个非均匀双曲系统的稳定叶状结构 \( W^s \)。如果对于任意两个横截于稳定叶状的局部子流形 \( \Sigma_ 1 \) 和 \( \Sigma_ 2 \)（例如，它们是不稳定叶状的局部截面），从 \( \Sigma_ 1 \) 到 \( \Sigma_ 2 \) 沿稳定叶状的霍姆同胚（即通过滑动沿稳定叶状将点对应起来），将 \( \Sigma_ 1 \) 上的条件测度推前到 \( \Sigma_ 2 \) 上时，该推前测度与 \( \Sigma_ 2 \) 上的条件测度绝对连续（即相互间有可测的、几乎处处非零的密度），则称稳定叶状结构是绝对连续的。这保证了叶状结构在测度意义下是“均匀”的，而非分形或奇异的。 非均匀双曲系统中的绝对连续性定理 对于满足非均匀双曲条件的保测系统（如Pesin理论中的系统），稳定和不稳定叶状结构是绝对连续的。关键步骤包括： 利用李雅普诺夫指数的可测性，定义点态稳定/不稳定子空间。 通过霍曼-佩辛稳定流形定理，构造局部稳定/不稳定流形。 证明霍姆同胚（沿叶状的滑动映射）是绝对连续的：这依赖于系统在叶状横截方向上的可微性控制，以及测度在膨胀方向上的正则性（如使用体积变化公式或拉东-尼科迪姆导数估计）。 绝对连续性的应用与意义 遍历分解 ：绝对连续性确保系统可沿叶状结构分解为遍历分量，例如在部分双曲系统中，它帮助建立测度的乘积结构。 随机稳定性 ：在随机动力系统中，绝对连续叶状结构支持乘性遍历定理的应用，从而分析李雅普诺夫指数的确定性。 刚性问题 ：若叶状结构非绝对连续（如存在零测度集横截于叶状时具有正测度），可能暗示系统的刚性或可压缩性，这与熵产生率、谱间隙等不变量相关。 技术难点与推广 非均匀双曲系统的绝对连续性证明通常需要精细的估计，如控制霍姆同胚的雅可比行列式，并处理测度在非一致双曲点附近的振荡。现代推广包括部分双曲系统、带有奇点的系统，以及随机扰动下的绝对连续性保持性。